Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải các bài tập toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaitoan.edu.vn đã biên soạn lời giải chi tiết, từng bước, giúp bạn hiểu rõ phương pháp và cách tiếp cận bài toán.
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng (frac{1}{4}) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó.
Đề bài
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \({h_n}\) là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ \(n\).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\).
b) Tính giới hạn của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\).
c) Gọi \({S_n}\) là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ \(n\). Tính \({S_n}\), nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó, do vậy \({h_{n + 1}} = \frac{1}{4}{h_n}\). Suy ra số hạng tổng quát của dãy là \({h_n} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\).
b) Ta có \(\lim \frac{{100}}{{{4^n}}} = \lim 100.\lim \frac{1}{{{4^n}}} = 100.0 = 0\)
Từ đó ta rút ra ý nghĩa giới hạn của dãy \(\left( {{h_n}} \right)\).
c) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Lời giải chi tiết
a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó. Sau lần chạm đất thứ \(n\), độ cao của quả bóng là \({h_n}\), thì lần chạm đất tiếp theo (thứ \(n + 1\)), độ cao của quả bóng là \(\frac{1}{4}{h_n}\).
Tức là \({h_{n + 1}} = \frac{1}{4}{h_n} \Rightarrow \frac{{{h_{n + 1}}}}{{{h_n}}} = \frac{1}{4}\). Như vậy \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({h_1} = \frac{{100}}{4} = 25\) và công bội \(q = \frac{\({h_n} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\)1}{4}\).
Như vậy \({h_n} = {h_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{100}}{4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\)
Vậy số hạng tổng quát của dãy là .
b) Ta có \(\lim \frac{{100}}{{{4^n}}} = \lim 100.\lim \frac{1}{{{4^n}}} = 100.0 = 0\)
Từ giới hạn này, ta rút ra được ý nghĩa: Khi \(n\) càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.
c) Từ lúc thả rơi đến lần chạm đất đầu tiên, qua bóng đi được 100 m.
Từ lúc chạm đất lần đầu tiên đến lúc chạm đất lần thứ hai, quả bóng nảy lên độ cao \({h_1}\) rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là \(2{h_1}\).
Từ lúc chạm đất lần thứ hai đến lúc chạm đất lần thứ ba, quả bóng nảy lên độ cao \({h_2}\) rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là \(2{h_2}\).
Cứ như vậy, quãng đường quả bóng đi được là:
\({S_n} = 100 + 2\left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ... + {h_n}} \right)\)
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi thì quãng đường quả bóng đi được là \(\lim {S_n} = 100 + 2\left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ...} \right)\)
Ta thấy \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{4} < 1\), nên \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số nhân lùi vô hạn.
Như vậy \(\lim {S_n} = 100 + 2\left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ...} \right) = 100 + 2\frac{{{h_1}}}{{1 - q}} = 100 + 2\frac{{25}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{500}}{3}\)
Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển là \(\frac{{500}}{3}\) m.
Bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của chúng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.
Bài 11 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều một cách hiệu quả, bạn cần:
Ví dụ: Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính 2a - b.
Giải:
2a = 2(1; 2; 3) = (2; 4; 6)
2a - b = (2; 4; 6) - (-2; 1; 0) = (2 - (-2); 4 - 1; 6 - 0) = (4; 3; 6)
Khi giải bài tập về vectơ, bạn cần lưu ý một số điều sau:
Để học tốt môn Toán 11, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
