Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 30 trang 81 sách bài tập Toán 11 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, tự tin hơn trong các bài kiểm tra.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaitoan.edu.vn đã biên soạn lời giải bài 30 trang 81 một cách cẩn thận, đảm bảo tính chính xác và dễ tiếp thu.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + a{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\)
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + a{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\)
a) Với \(a = 2\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 1\).
b) Tìm \(a\) để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) trong trường hợp \(a = 2\).
b) Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục tại \(x = 1\). Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Từ đó tìm được \(a\).
Lời giải chi tiết
a) Với \(a = 2\) ta có \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + 2{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\).
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x} \right) = {1^2} - 1 = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\), nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\). Do đó, hàm số không liên tục tại \(x = 1\).
b) Với \(x < 1\) thì \(f\left( x \right) = x + a\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \infty ,1} \right)\).
Với \(x > 1\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - x\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {1, + \infty } \right)\).
Do đó, để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì \(f\left( x \right)\) phải liên tục tại \(x = 1\).
Tức là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + a} \right) = 0 \Rightarrow 1 + a = 0 \Rightarrow a = - 1\).
Bài 30 trang 81 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp. Việc nắm vững các quy tắc này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Bài 30 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 30, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng bài tập:
Lời giải:
f'(x) = d/dx (3x2) + d/dx (2x) - d/dx (1)
f'(x) = 6x + 2 - 0
f'(x) = 6x + 2
Lời giải:
g'(x) = d/dx [(x2 + 1) / (x - 1)]
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
g'(x) = [(2x)(x - 1) - (x2 + 1)(1)] / (x - 1)2
g'(x) = (2x2 - 2x - x2 - 1) / (x - 1)2
g'(x) = (x2 - 2x - 1) / (x - 1)2
Lời giải:
h'(x) = d/dx (x3) - d/dx (3x2) + d/dx (2x)
h'(x) = 3x2 - 6x + 2
h''(x) = d/dx (3x2) - d/dx (6x) + d/dx (2)
h''(x) = 6x - 6
Để giải bài tập đạo hàm một cách hiệu quả, bạn nên:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để học thêm về đạo hàm, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 30 trang 81 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
