Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân

Chương 4: Nguyên hàm và Tích phân - Giải Toán 12 Tập 2 (Cùng Khám Phá)

Chương 4 của sách Giải Toán 12 tập 2 (Cùng Khám phá) đi sâu vào hai khái niệm then chốt của giải tích: Nguyên hàm và Tích phân. Việc nắm vững kiến thức trong chương này là vô cùng quan trọng, không chỉ phục vụ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các môn học nâng cao liên quan đến khoa học kỹ thuật.

I. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm là một bài toán ngược của phép vi phân. Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, chúng khác nhau ở một hằng số cộng. Hằng số này được gọi là hằng số tích phân, ký hiệu là C.

1. Các tính chất của nguyên hàm

• Nguyên hàm của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm.
• Nguyên hàm của một tích bằng tích của một hằng số với nguyên hàm.

2. Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản

Việc nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản như xⁿ, sinx, cosx, e^x, 1/x là rất quan trọng để giải các bài toán tìm nguyên hàm phức tạp hơn.

II. Tích phân

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Tích phân không xác định là một họ các hàm số, mỗi hàm số trong họ là một nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân.

1. Định nghĩa tích phân xác định

Tích phân xác định được định nghĩa thông qua tổng Riemann. Tổng Riemann là một tổng các diện tích của các hình chữ nhật nhỏ, được sử dụng để xấp xỉ diện tích dưới đường cong.

2. Các tính chất của tích phân xác định

• Tích phân của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các tích phân.
• Tích phân của một tích bằng tích của một hằng số với tích phân.

3. Ứng dụng của tích phân

Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tính diện tích hình phẳng.
• Tính thể tích vật thể.
• Tính độ dài đường cong.
• Tính công thực hiện bởi một lực.

III. Phương pháp tính tích phân

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, bao gồm:

• Phương pháp đổi biến số.
• Phương pháp tích phân từng phần.
• Phương pháp phân tích thành nhân tử.

1. Phương pháp đổi biến số

Phương pháp này được sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.

2. Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp này được sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số.

IV. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn nên luyện tập các bài tập trong SGK Toán 12 tập 2 (Cùng Khám phá) và các đề thi thử THPT Quốc gia. Giaitoan.edu.vn cung cấp đầy đủ lời giải chi tiết cho các bài tập này, giúp bạn tự tin hơn trong kỳ thi.

Hy vọng rằng, với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên đây, bạn sẽ nắm vững chương 4 của bộ sách Giải Toán 12 tập 2 (Cùng Khám phá) và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia.