Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một lò xo có chiều dài tự nhiên là \({l_0} = 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\)(Hình 4.9a). Để kéo giãn lò xo \(x{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\) cần một lực có độ lớn \(f(x) = kx{\mkern 1mu} ({\rm{N}})\), trong đó \(k\) là độ cứng của lò xo và có giá trị không đổi. (Hình 4.9b). a) Tìm \(k\), biết dưới tác dụng của một lực 40 N, lò xo bị giãn và chiều dài của lò xo khi ấy là \({l_1} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\). b) Nếu một lực có độ lớn \(f(x){\mkern 1mu} ({\rm{N}})\) làm biến dạng lò xo từ độ giãn \(a{\mke
Đề bài
Một lò xo có chiều dài tự nhiên là \({l_0} = 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\)(Hình 4.9a). Để kéo giãn lò xo \(x{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\) cần một lực có độ lớn \(f(x) = kx{\mkern 1mu} ({\rm{N}})\), trong đó \(k\) là độ cứng của lò xo và có giá trị không đổi. (Hình 4.9b).
a) Tìm \(k\), biết dưới tác dụng của một lực 40 N, lò xo bị giãn và chiều dài của lò xo khi ấy là \({l_1} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\).
b) Nếu một lực có độ lớn \(f(x){\mkern 1mu} ({\rm{N}})\) làm biến dạng lò xo từ độ giãn \(a{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\) đến \(b{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\) thì công của lực đó được cho bởi công thức \(A = \int_a^b f (x){\mkern 1mu} dx\)(J). Tính công của một lực làm lò xo biến dạng từ chiều dài 15 cm đến 18 cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Sử dụng định luật Hooke: \(f(x) = kx\).
- Tìm độ giãn của lò xo: \(x = {l_1} - {l_0}\).
- Suy ra \(k\) từ công thức \(f(x) = kx\) với \(f(x) = 40{\mkern 1mu} {\rm{N}}\).
b)
- Sử dụng công thức công của lực: \(A = \int_a^b f (x){\mkern 1mu} dx\).
- Biểu thức lực \(f(x) = kx\) được thay vào công thức tích phân để tính công.
- Tính công khi lò xo giãn từ \(a = {l_1} - {l_0}\) đến \(b = {l_2} - {l_0}\) (trong đó \({l_2} = 18{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\)).
Lời giải chi tiết
a)
- Độ giãn của lò xo khi chịu lực 40 N là:
\(x = {l_1} - {l_0} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}} - 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 0.05{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Áp dụng định luật Hooke \(f(x) = kx\), ta có:
\(40 = k \times 0.05\)
Suy ra độ cứng của lò xo \(k\):
\(k = \frac{{40}}{{0.05}} = 800{\mkern 1mu} {\rm{N/m}}\)
b)
- Độ giãn khi chiều dài của lò xo là 15 cm:
\({x_1} = {l_1} - {l_0} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}} - 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 0.05{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Độ giãn khi chiều dài của lò xo là 18 cm:
\({x_2} = {l_2} - {l_0} = 18{\mkern 1mu} {\rm{cm}} - 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 8{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 0.08{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Công của lực khi lò xo giãn từ \({x_1} = 0.05{\mkern 1mu} {\rm{m}}\) đến \({x_2} = 0.08{\mkern 1mu} {\rm{m}}\):
\(A = \int_{0.05}^{0.08} k x{\mkern 1mu} dx\)
Thay \(k = 800{\mkern 1mu} {\rm{N/m}}\) vào:
\(A = 800\int_{0.05}^{0.08} x {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(A = 800\left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{0.05}^{0.08}\)
\(A = 800\left( {\frac{{{{0.08}^2}}}{2} - \frac{{{{0.05}^2}}}{2}} \right)\)
\(A = 800 \times \frac{{(0.0064 - 0.0025)}}{2}\)
\(A = 800 \times \frac{{0.0039}}{2} = 800 \times 0.00195 = 1.56{\mkern 1mu} {\rm{J}}\)
Vậy công của lực làm lò xo giãn từ 15 cm đến 18 cm là \(1.56{\mkern 1mu} {\rm{J}}\).
Bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm khoảng đơn điệu, cực trị của hàm số, hoặc giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng xem lại đề bài của bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2:
(Đề bài cụ thể sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Khảo sát hàm số.)
Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Khảo sát hàm số.
Giải:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | NB | ĐB | NB |
Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y(2) = -2.
y'' = 0 => x = 1
Hàm số lõm trên (-∞; 1) và lồi trên (1; +∞).
Điểm uốn: (1; 0)
Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, các em cần lưu ý:
Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
