Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Chúng tôi xin giới thiệu bộ tài liệu giải chi tiết các bài tập trong mục 1, trang 11, 12, 13 và 14 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ kiến thức, nắm vững phương pháp giải bài tập và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây. a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\). b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\).
b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Phương pháp giải:
a) Đại lượng \(L = s(5) - s(3)\) biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\) để tìm hàm quãng đường \(s(t)\). So sánh \(L\) với hiệu của giá trị nguyên hàm tại \(t = 5\) và \(t = 3\).
Lời giải chi tiết:
a) \(L = s(5) - s(3)\) là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta biết rằng \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t) = 3t + 2\). Tính nguyên hàm của \(v(t)\):
\(F(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C\)
Do đó:
\(F(5) - F(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + C} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + C} \right)\)
\( = \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)\)
\( = \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}\)
Do đó, \(L = F(5) - F(3)\), tức là quãng đường \(s(5) - s(3)\) chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x) = 2x\).
a) Tìm các hàm số \(F(x),G(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)
b) So sánh \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\).
Phương pháp giải:
a)
- Nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\).
- Để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).
b)
- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(F(x) = G(x) + C\) với \(C\) là một hằng số. Từ đó, tính hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét hàm số \(f(x) = 2x\). Nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng công thức tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
Trong đó, \({C_1}\) là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):
\(G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}\)
Trong đó, \({C_2}\) là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:
\(F(x) = {x^2} + {C_1}\)
\(G(x) = {x^2} + {C_2}\)
b)
Ta có:
\(F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}\)
Và:
\(G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}\)
Từ đây, dễ thấy rằng:
\(F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}\)
Kết luận: Mặc dù \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.
- Áp dụng công thức của tích phân xác định:
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(x) = {x^3}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3\)
Thay giá trị \(x = 3\) và \(x = 1\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)
Kết quả:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20\)
b)
Tìm nguyên hàm của \(\cos u\):
\(\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(u) = \cos u\) là \(F(u) = \sin u\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi \)
Thay giá trị \(u = \pi \) và \(u = 0\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0\)
Kết quả:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x) = {2^x}\) và \(F(0) = 0\). Tính \(F(1)\).
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\):
- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm \(F(1)\)
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
Tìm nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\):
\(F(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:
\(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = F(1) - F(0)\)
Suy ra:
\(F(1) = \int\limits_0^1 {f(x)} + F(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\) khi \(t = 4\) (Hình 4.3b).
b) Tìm hàm số \(S(t)\) biểu thị diện tích của hình \((H)\) với \(t \in [1;4]\).
c) Chứng minh \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 2t + 1\) trên đoạn [1; 4] và \(S = S(4) - S(1)\).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ \({x_1}\) đến \({x_2}\) và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của \(y\) tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\).
b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi, tìm hàm số diện tích \(S(t)\).
c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số \(S(t)\) và so sánh với \(f(t)\).
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(t = 4\), diện tích của hình thang vuông \((H)\) là:
\(S = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})\)
Trong đó: \({y_1} = 2(1) + 1 = 3\) \({y_2} = 2(4) + 1 = 9\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Do đó:
\(S = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18\) (đơn vị diện tích)
b) Diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi từ 1 đến 4:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)\)
Trong đó: \({y_1} = 3\) \(y(t) = 2t + 1\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = t\) Do đó:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}S(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)\)
\(S(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2\)
c) Chứng minh \(S(t)\) là nguyên hàm của hàm \(f(t) = 2t + 1\):
\(S(t) = {t^2} + t - 2\)
Lấy đạo hàm của \(S(t)\):
\(S'(t) = 2t + 1 = f(t)\)
Do đó, \(S(t)\) là nguyên hàm của \(f(t) = 2t + 1\). Cuối cùng, diện tích \(S = S(4) - S(1)\) được tính như sau:
\(S(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18\)
\(S(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\)
\(S = 18 - 0 = 18\) (đơn vị diện tích).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). (Hình 4.6).
Phương pháp giải:
- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm \(\sqrt x \).
Lời giải chi tiết:
Thiết lập tích phân:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + C\)
Do đó, diện tích cần tìm là:
\(S = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]\)
Tính giá trị cụ thể:
\({4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8\)
\(S = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\).
b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Phương pháp giải:
a) Đại lượng \(L = s(5) - s(3)\) biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\) để tìm hàm quãng đường \(s(t)\). So sánh \(L\) với hiệu của giá trị nguyên hàm tại \(t = 5\) và \(t = 3\).
Lời giải chi tiết:
a) \(L = s(5) - s(3)\) là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta biết rằng \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t) = 3t + 2\). Tính nguyên hàm của \(v(t)\):
\(F(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C\)
Do đó:
\(F(5) - F(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + C} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + C} \right)\)
\( = \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)\)
\( = \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}\)
Do đó, \(L = F(5) - F(3)\), tức là quãng đường \(s(5) - s(3)\) chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\) khi \(t = 4\) (Hình 4.3b).
b) Tìm hàm số \(S(t)\) biểu thị diện tích của hình \((H)\) với \(t \in [1;4]\).
c) Chứng minh \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 2t + 1\) trên đoạn [1; 4] và \(S = S(4) - S(1)\).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ \({x_1}\) đến \({x_2}\) và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của \(y\) tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\).
b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi, tìm hàm số diện tích \(S(t)\).
c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số \(S(t)\) và so sánh với \(f(t)\).
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(t = 4\), diện tích của hình thang vuông \((H)\) là:
\(S = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})\)
Trong đó: \({y_1} = 2(1) + 1 = 3\) \({y_2} = 2(4) + 1 = 9\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Do đó:
\(S = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18\) (đơn vị diện tích)
b) Diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi từ 1 đến 4:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)\)
Trong đó: \({y_1} = 3\) \(y(t) = 2t + 1\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = t\) Do đó:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}S(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)\)
\(S(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2\)
c) Chứng minh \(S(t)\) là nguyên hàm của hàm \(f(t) = 2t + 1\):
\(S(t) = {t^2} + t - 2\)
Lấy đạo hàm của \(S(t)\):
\(S'(t) = 2t + 1 = f(t)\)
Do đó, \(S(t)\) là nguyên hàm của \(f(t) = 2t + 1\). Cuối cùng, diện tích \(S = S(4) - S(1)\) được tính như sau:
\(S(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18\)
\(S(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\)
\(S = 18 - 0 = 18\) (đơn vị diện tích).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x) = 2x\).
a) Tìm các hàm số \(F(x),G(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)
b) So sánh \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\).
Phương pháp giải:
a)
- Nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\).
- Để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).
b)
- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(F(x) = G(x) + C\) với \(C\) là một hằng số. Từ đó, tính hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét hàm số \(f(x) = 2x\). Nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng công thức tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
Trong đó, \({C_1}\) là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):
\(G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}\)
Trong đó, \({C_2}\) là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:
\(F(x) = {x^2} + {C_1}\)
\(G(x) = {x^2} + {C_2}\)
b)
Ta có:
\(F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}\)
Và:
\(G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}\)
Từ đây, dễ thấy rằng:
\(F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}\)
Kết luận: Mặc dù \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.
- Áp dụng công thức của tích phân xác định:
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(x) = {x^3}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3\)
Thay giá trị \(x = 3\) và \(x = 1\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)
Kết quả:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20\)
b)
Tìm nguyên hàm của \(\cos u\):
\(\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(u) = \cos u\) là \(F(u) = \sin u\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi \)
Thay giá trị \(u = \pi \) và \(u = 0\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0\)
Kết quả:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x) = {2^x}\) và \(F(0) = 0\). Tính \(F(1)\).
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\):
- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm \(F(1)\)
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
Tìm nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\):
\(F(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:
\(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = F(1) - F(0)\)
Suy ra:
\(F(1) = \int\limits_0^1 {f(x)} + F(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). (Hình 4.6).
Phương pháp giải:
- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm \(\sqrt x \).
Lời giải chi tiết:
Thiết lập tích phân:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + C\)
Do đó, diện tích cần tìm là:
\(S = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]\)
Tính giá trị cụ thể:
\({4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8\)
\(S = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}\)
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn ở các chương tiếp theo. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1, trang 11, 12, 13 và 14, giúp các em học sinh hiểu rõ cách tiếp cận và giải quyết các vấn đề toán học.
Các bài tập trên trang 11 thường là những bài tập cơ bản để kiểm tra mức độ hiểu bài của học sinh. Chúng thường liên quan đến việc áp dụng các định nghĩa, tính chất và công thức đã học trong bài giảng. Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, từng bước một, để các em có thể theo dõi và hiểu rõ cách giải.
Trang 12 thường chứa các bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn. Chúng tôi sẽ cung cấp các lời giải chi tiết, kèm theo các phân tích và giải thích để giúp các em hiểu rõ cách tiếp cận và giải quyết các bài toán này.
Các bài tập trên trang 13 thường liên quan đến việc ứng dụng kiến thức đã học vào các bài toán thực tế. Chúng tôi sẽ cung cấp các lời giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa để giúp các em hiểu rõ cách áp dụng kiến thức vào thực tế.
Trang 14 thường chứa các bài tập tổng hợp, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức đã học từ các trang trước để giải quyết. Chúng tôi sẽ cung cấp các lời giải chi tiết, kèm theo các phân tích và giải thích để giúp các em hiểu rõ cách tiếp cận và giải quyết các bài toán này.
Để giải bài tập Toán 12 tập 2 hiệu quả, các em cần:
Bài tập: Giải phương trình lượng giác: sin(x) = 1/2
Lời giải:
Để học tốt môn Toán 12, các em cần:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những thông tin hữu ích và giúp các em giải quyết các bài tập trong mục 1, trang 11, 12, 13 và 14 của SGK Toán 12 tập 2 một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
