Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian - Giải Toán 12 Cánh Diều

Chương 5 của sách Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu các phương trình trong không gian, cụ thể là phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm và công thức liên quan.

I. Phương trình mặt phẳng

Một mặt phẳng trong không gian có thể được xác định bằng một điểm và một vector pháp tuyến. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó, (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng. Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần biết tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng và tọa độ của vector pháp tuyến.

• Tìm vector pháp tuyến: Vector pháp tuyến có thể được tìm bằng tích có hướng của hai vector nằm trong mặt phẳng, hoặc từ các thông tin khác của bài toán.
• Xác định điểm thuộc mặt phẳng: Điểm này có thể được cho trước, hoặc cần phải tìm thông qua các điều kiện của bài toán.
• Viết phương trình mặt phẳng: Sử dụng công thức tổng quát, thay tọa độ điểm và vector pháp tuyến vào để tìm ra phương trình mặt phẳng.

II. Phương trình đường thẳng trong không gian

Một đường thẳng trong không gian có thể được xác định bằng một điểm và một vector chỉ phương. Có nhiều dạng phương trình của đường thẳng, bao gồm:

• Phương trình tham số:

  x = x₀ + at

  y = y₀ + bt

  z = z₀ + ct

  Trong đó, (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng, và (a, b, c) là vector chỉ phương.

• Phương trình chính tắc:

  (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c

III. Phương trình mặt cầu trong không gian

Mặt cầu trong không gian được xác định bởi tâm và bán kính. Phương trình của mặt cầu có dạng:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó, (a, b, c) là tọa độ của tâm mặt cầu, và R là bán kính.

IV. Quan hệ tương giao giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

Chương 5 cũng đề cập đến các bài toán về quan hệ tương giao giữa các đối tượng hình học trong không gian. Để giải quyết các bài toán này, ta cần:

• Kiểm tra xem đường thẳng có nằm trong mặt phẳng hay không: Thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng. Nếu phương trình thỏa mãn với mọi t, thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
• Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng.
• Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng.
• Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Sử dụng công thức tính góc giữa hai vector pháp tuyến của hai mặt phẳng.

V. Bài tập vận dụng

Để nắm vững kiến thức, bạn nên luyện tập các bài tập trong SGK và các bài tập bổ trợ. Hãy chú ý đến việc phân tích đề bài, xác định các yếu tố cần thiết và áp dụng các công thức phù hợp.

Giaitoan.edu.vn hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ học tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.