Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 8 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập toán học.
Bài tập 8 thuộc chương trình học Toán 12 tập 2, tập trung vào các kiến thức về tích phân.
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 t\\y = 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):\sqrt 3 x + z - 2 = 0\); b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).
Đề bài
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 t\\y = 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):\sqrt 3 x + z - 2 = 0\);
b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Gọi \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {\sqrt 3 ;0;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {\sqrt 3 ;0;1} \right)\).
Ta có: \(\sin \left( {\left( P \right),\Delta } \right) = \frac{{\left| {\sqrt 3 .\sqrt 3 + 0.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{4} = 1\) nên \(\left( {\left( P \right),\Delta } \right) = {90^o}\).
b) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có: \(\sin \left( {\left( P \right),\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}\) nên \(\left( {\left( P \right),\Delta } \right) \approx {19^o}\).
Bài tập 8 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. Đây là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về tích phân, phương pháp tính tích phân và các kỹ năng vẽ đồ thị hàm số.
Bài tập 8 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu tính diện tích các hình phẳng khác nhau. Cụ thể:
Để giải bài tập 8, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Lời giải:
Đầu tiên, ta tìm giao điểm của đường cong y = x2 - 4x + 3 với trục hoành:
x2 - 4x + 3 = 0 ⇔ (x - 1)(x - 3) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3
Vậy, đường cong cắt trục hoành tại x = 1 và x = 3. Trên đoạn [0, 1], y > 0 và trên đoạn [1, 3], y < 0.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S = ∫01 (x2 - 4x + 3) dx + |∫13 (x2 - 4x + 3) dx|
Tính các tích phân:
∫01 (x2 - 4x + 3) dx = [x3/3 - 2x2 + 3x]01 = 1/3 - 2 + 3 = 4/3
∫13 (x2 - 4x + 3) dx = [x3/3 - 2x2 + 3x]13 = (9 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3) = 0 - 4/3 = -4/3
Vậy, S = 4/3 + |-4/3| = 4/3 + 4/3 = 8/3
Lời giải:
Trên đoạn [0, π], sinx ≥ 0. Vậy, diện tích hình phẳng cần tính là:
S = ∫0π sinx dx = [-cosx]0π = -cosπ - (-cos0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2
Lời giải:
Trên đoạn [-1, 1], ex > 0. Vậy, diện tích hình phẳng cần tính là:
S = ∫-11 ex dx = [ex]-11 = e1 - e-1 = e - 1/e
Bài tập 8 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân và ứng dụng vào việc tính diện tích hình phẳng. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này và các bài tập tương tự.
