Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của giaitoan.edu.vn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập 12 trang 88 và 89 thuộc sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là cung cấp cho các em những lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0. a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D'). b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'. c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD). d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).
Đề bài
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0.
a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').
b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.
c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD).
d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh hai vectơ \(\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]\) cùng phương, từ đó suy ra \(\overrightarrow {O'C} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB'D'). Suy ra O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').
b) + Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (OB’D’).
+ Viết phương trình tham số đường thẳng O’C.
+ Tìm giao điểm G của mặt phẳng (OB’D’) và đường thẳng O’C.
+ Tìm G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’.
+ Chứng minh được G trùng G’.
c) Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm \({M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\) (\({A^2} + {B^2} + {C^2} > 0\)) được tính theo công thức: \(d\left( {{M_o},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
d) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Khi đó ta có: \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OB} = \left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {{x_C};{y_C} - a;{z_C}} \right)\).
Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBCD là hình vuông.
Do đó: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} - a = 0\\{z_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} = a\\{z_C} = 0\end{array} \right.\). Suy ra, C(a; a; 0).
Gọi \(D'\left( {{x_{D'}};{y_{D'}};{z_{D'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {DD'} = \left( {{x_{D'}};{y_{D'}} - a;{z_{D'}}} \right)\).
Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên ODD’O’ là hình vuông.
Do đó: \(\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\{y_{D'}} - a = 0\\{z_{D'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\{y_{D'}} = a\\{z_{D'}} = a\end{array} \right.\). Suy ra, D’(0; a; a).
Gọi \(B'\left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {BB'} = \left( {{x_{B'}} - a;{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\).
Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBB’O’ là hình vuông.
Do đó: \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - a = 0\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = a\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = a\end{array} \right.\). Suy ra, B’(a; 0; a).
a) Ta có: \(\overrightarrow {OB'} = \left( {a;0;a} \right),\overrightarrow {OD'} = \left( {0;a;a} \right)\)\(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&a\\a&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&0\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\)
Mặt phẳng (OB’D’) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Lại có: \(\overrightarrow {O'C} = \left( {a;a; - a} \right),\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = - a.\overrightarrow {O'C} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]\) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {O'C} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB’D’). Vậy O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').
b) Mặt phẳng (OB’D’) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm O(0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (OB’D’) là:
\( - {a^2}\left( {x - 0} \right) - {a^2}\left( {y - 0} \right) + {a^2}\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0\) (Do \(a > 0\))
Đường thẳng O’C đi qua điểm O'(0; 0; a) và nhận \(\frac{1}{a}\overrightarrow {O'C} = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng O’C là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = a - t\end{array} \right.\) (t là tham số).
Gọi G là giao điểm của đường thẳng O’C và mặt phẳng (OB’D’).
Vì G thuôc O’C nên G(t; t; a-t). Vì G thuộc mặt phẳng (OB’D’) nên:
\(t + t - \left( {a - t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{3}\). Do đó, \(G\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\).
Gọi G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’ nên \(G'\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\).
Khi đó, G trùng với G’. Vậy giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.
c) Gọi \(C'\left( {{x_{C'}};{y_{C'}};{z_{C'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {CC'} = \left( {{x_{C'}} - a;{y_{C'}} - a;{z_{C'}}} \right)\).
Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - a = 0\\{y_{C'}} - a = 0\\{z_{C'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = a\\{y_{C'}} = a\\{z_{C'}} = a\end{array} \right.\).
Suy ra, C’(a; a; a).
Ta có: \(\overrightarrow {C'B} = \left( {0; - a; - a} \right),\overrightarrow {C'D} = \left( { - a;0 - a} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&{ - a}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&0\\{ - a}&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)\)
Mặt phẳng (C'BD) nhận \(\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm D(0; a; 0) nên có phương trình: \({a^2}.x + {a^2}\left( {y - a} \right) - {a^2}z = 0 \Leftrightarrow x + y - z - a = 0\)
Ta có: \(d\left( {B',\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - a - a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
d) Ta có: \(\overrightarrow {O'C} = \left( {a;a; - a} \right),\overrightarrow {O'D} = \left( {0;a; - a} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - a}\\a&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&a\\{ - a}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;{a^2};{a^2}} \right)\)
Mặt phẳng (CO’D) nhận \(\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {0;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, mặt phẳng (C'BD) nhận \(\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có: \(\cos \left( {\left( {CO'D} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.1 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\).
Bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Các bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số và tìm cực trị.
Bài tập 12 bao gồm các câu hỏi và bài tập nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để giải bài tập này, chúng ta cần:
Ví dụ, nếu f'(x) > 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a, b).
Tương tự như bài tập 12.1, chúng ta cần tính đạo hàm, tìm điểm dừng và lập bảng xét dấu để xác định cực đại, cực tiểu của hàm số.
Lưu ý: Cực đại và cực tiểu của hàm số là các điểm mà tại đó đạo hàm đổi dấu.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, ví dụ như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng cho trước.
Ngoài sách giáo khoa, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
