Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 4, trang 57, 58, 59 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học.
Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 58 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho mặt phẳng \(({P_1})\) có phương trình tổng quát là \(x + 2y + z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(({P_2})\) có phương trình tổng quát là \(3x - 2y + z + 5 = 0\)
Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;2;1),\overrightarrow {{n_2}} = (3; - 2;1)\) lần lượt là vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) (Hình 14). Hai vecto \(\overrightarrow {{n_1}} \),\(\overrightarrow {{n_2}} \) có vuông góc với nhau hay không?
Phương pháp giải:
\(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.3 + 2.( - 2) + 1.1 = 0\) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \),\(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 57 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho mặt phẳng \(({P_1}):2x + 2y + 2z + 1 = 0\) (1) và mặt phẳng \(({P_2}):x + y + z - 1 = 0\) (2).
a) Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} = (2;2;2),\overrightarrow {{n_2}} = (1;1;1)\) lần lượt là vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) (Hình 14). Tìm liên hệ giữa \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(2\overrightarrow {{n_2}} \)
b) Tìm các hệ số tự do \({D_1},{D_2}\) lần lượt trong hai phương trình (1), (2). So sánh \({D_1}\) và \(2{D_2}\)
c) Nêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\)
Phương pháp giải:
a), (b) Xác định \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(2\overrightarrow {{n_2}} \), \({D_1}\) và \(2{D_2}\) rồi so sánh
b) Quan sát hình vẽ
Lời giải chi tiết:
a) \(\;\overrightarrow {{n_1}} = 2\overrightarrow {{n_2}} = (2;2;2)\)
b) \({D_1}\)= 1; \(2{D_2}\) = -2
Vậy \({D_1} \ne 2{D_2}\)
c) \(({P_1})//({P_2})\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 58 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho mặt phẳng \(({P_1})\) có phương trình tổng quát là \(x + 2y + z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(({P_2})\) có phương trình tổng quát là \(3x - 2y + z + 5 = 0\)
Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;2;1),\overrightarrow {{n_2}} = (3; - 2;1)\) lần lượt là vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) (Hình 14). Hai vecto \(\overrightarrow {{n_1}} \),\(\overrightarrow {{n_2}} \) có vuông góc với nhau hay không?
Phương pháp giải:
\(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.3 + 2.( - 2) + 1.1 = 0\) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \),\(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 57 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho mặt phẳng \(({P_1}):2x + 2y + 2z + 1 = 0\) (1) và mặt phẳng \(({P_2}):x + y + z - 1 = 0\) (2).
a) Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} = (2;2;2),\overrightarrow {{n_2}} = (1;1;1)\) lần lượt là vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) (Hình 14). Tìm liên hệ giữa \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(2\overrightarrow {{n_2}} \)
b) Tìm các hệ số tự do \({D_1},{D_2}\) lần lượt trong hai phương trình (1), (2). So sánh \({D_1}\) và \(2{D_2}\)
c) Nêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\)
Phương pháp giải:
a), (b) Xác định \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(2\overrightarrow {{n_2}} \), \({D_1}\) và \(2{D_2}\) rồi so sánh
b) Quan sát hình vẽ
Lời giải chi tiết:
a) \(\;\overrightarrow {{n_1}} = 2\overrightarrow {{n_2}} = (2;2;2)\)
b) \({D_1}\)= 1; \(2{D_2}\) = -2
Vậy \({D_1} \ne 2{D_2}\)
c) \(({P_1})//({P_2})\)
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều tập trung vào các kiến thức về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc học tập các kiến thức hình học không gian ở các lớp trên. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập trong mục này là vô cùng cần thiết.
Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào giải chi tiết từng bài tập trong mục 4, trang 57, 58, 59. Các bài tập này thường xoay quanh các chủ đề sau:
Bài 1 thường yêu cầu học sinh xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng dựa trên các thông tin đã cho. Để giải bài này, cần nắm vững các dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song, vuông góc, cắt mặt phẳng. Ví dụ:
Nếu đường thẳng có vector chỉ phương vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Bài 2 thường yêu cầu tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Công thức tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
sin(α) = |cos(n, ud)|, trong đó:
Bài 3 thường yêu cầu tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Công thức tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
d(M, (P)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)
Để giải tốt các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, các em cần:
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| sin(α) = |cos(n, ud)| | Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng |
| d(M, (P)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)| | Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng |
Hy vọng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 4 trang 57,58,59 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
