Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập Toán 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 3 trang 29 trong Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy logic và vận dụng kiến thức. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, chi tiết, kèm theo các giải thích cụ thể để bạn có thể hiểu rõ bản chất của vấn đề.
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
a) Tính \({S_1}\); \({S_2}\);\({S_3}\); \({S_4}\).
b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) \(n = 1 \Rightarrow 4n - 3 = 1;4n + 1 = 5 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{{1.5}} = \frac{1}{5}\);
\({S_2} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} = \frac{2}{9}\);
\({S_3} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} = \frac{3}{{13}}\);
b) Ta có:
\({S_1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{{4.1 + 1}};\)\({S_2} = \frac{2}{{4.2 + 1}};\)\({S_3} = \frac{3}{{4.3 + 1}};\)
Dự doán: \({S_n} = \frac{n}{{4.n + 1}}\)
Chứng minh:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{{4.1 + 1}}\) đúng
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4.(k + 1) + 1}}\) hay \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({S_k} = \frac{k}{{4.k + 1}}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4k - 3)(4k + 1)}} + \frac{1}{{[4(k + 1) - 3][4(k + 1) + 1]}}\\ = {S_k} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{k}{{4k + 1}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{k(4k + 5)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{(4k + 1)(k + 1)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ, phép toán vectơ và ứng dụng trong hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các công thức liên quan.
Bài 3 yêu cầu chúng ta thực hiện một số phép toán vectơ, chẳng hạn như tìm vectơ tổng, hiệu, tích của một số với vectơ, và chứng minh một số đẳng thức vectơ. Ngoài ra, bài tập còn yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết một số bài toán hình học đơn giản.
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập. Chúng tôi sẽ bắt đầu bằng việc tóm tắt các kiến thức cơ bản cần thiết, sau đó đi vào giải từng câu hỏi cụ thể.
Để tìm vectơ tổng của hai vectơ a và b, chúng ta sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác. Quy tắc hình bình hành cho rằng vectơ tổng a + b là đường chéo của hình bình hành có hai cạnh là a và b. Quy tắc tam giác cho rằng vectơ tổng a + b là cạnh thứ ba của tam giác có hai cạnh là a và b.
Để tìm vectơ hiệu của hai vectơ a và b, chúng ta sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác. Quy tắc hình bình hành cho rằng vectơ hiệu a - b là đường chéo của hình bình hành có hai cạnh là a và -b. Quy tắc tam giác cho rằng vectơ hiệu a - b là cạnh thứ ba của tam giác có hai cạnh là a và -b.
Để tìm tích của một số k với vectơ a, chúng ta nhân số k với mỗi thành phần của vectơ a. Ví dụ, nếu a = (x, y) thì ka = (kx, ky).
Vectơ là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán hình học. Chúng ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn các điểm, đường thẳng, và các hình hình học khác. Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng vectơ để tính toán các đại lượng hình học như khoảng cách, góc, và diện tích.
Để củng cố kiến thức về vectơ, bạn có thể làm thêm một số bài tập tương tự. Bạn có thể tìm thấy các bài tập này trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online.
Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
