Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu và hiệu quả.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.
Chứng minh \({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Chứng minh \({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({a^1} - {b^1} = a - b\) hiển nhiên đúng
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^{k + 1 - 1}} + {a^{k + 1 - 2}}b + ... + a{b^{k + 1 - 2}} + {b^{k + 1 - 1}})\) hay \({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = a.{a^k} - b.{b^k} = a\left( {{a^k} - {b^k}} \right) + a{b^k} - b.{b^k} = a\left( {{a^k} - {b^k}} \right) + \left( {a - b} \right).{b^k}\\ = a.(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}) + \left( {a - b} \right).{b^k}\\ = (a - b)\left[ {a({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}) + {b^k}} \right]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ, phép toán vectơ, và các ứng dụng của vectơ trong hình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ định nghĩa, tính chất của vectơ, cũng như các quy tắc cộng, trừ, nhân vectơ với một số thực.
Bài 7 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài 7 trang 29, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng phần của bài tập. (Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 7, trang 29, Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều. Ví dụ:)
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2
Lời giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có: overrightarrow{BM} =overrightarrow{MC}. Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:
overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC} =overrightarrow{AC}. Suy ra overrightarrow{BC} =overrightarrow{AC} -overrightarrow{AB}.
Mặt khác, overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BM} =overrightarrow{AB} + (1/2)overrightarrow{BC} =overrightarrow{AB} + (1/2)(overrightarrow{AC} -overrightarrow{AB}) =overrightarrow{AB} + (1/2)overrightarrow{AC} - (1/2)overrightarrow{AB} = (1/2)overrightarrow{AB} + (1/2)overrightarrow{AC} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2.
Vậy, overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2 (đpcm).
Để giải các bài tập về vectơ một cách hiệu quả, các em cần lưu ý những điều sau:
Ngoài sách giáo khoa, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tốt môn Toán 10:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
