Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 8 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp các em hiểu sâu hơn về kiến thức đã học.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, cung cấp các bài giải chuẩn xác, dễ hiểu và đầy đủ.
Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:
\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Ta chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({(a + b)^1} = C_1^0a + C_1^1b\quad ( = a + b)\)
Như vậy công thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử công thức đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({(a + b)^k} = C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k - 1}}b + ... + C_k^{k - 1}a{b^{k - 1}} + C_k^k{b^k}\)
Ta sẽ chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({(a + b)^{k + 1}} = C_{k + 1}^0{a^{k + 1}} + C_{k + 1}^1{a^k}b + ... + C_{k + 1}^ka{b^k} + C_{k + 1}^{k + 1}{b^{k + 1}}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}{(a + b)^{k + 1}} = {(a + b)^k}(a + b) = \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k - 1}}b + ... + C_k^{k - 1}a{b^{k - 1}} + C_k^k{b^k}} \right)(a + b)\\ = \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k - 1}}b + ... + C_k^{k - 1}a{b^{k - 1}} + C_k^k{b^k}} \right)a + \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k - 1}}b + ... + C_k^{k - 1}a{b^{k - 1}} + C_k^k{b^k}} \right)b\\ = \left( {C_k^0{a^{k + 1}} + C_k^1{a^k}b + ... + C_k^{k - 1}{a^2}{b^{k - 1}} + C_k^ka{b^k}} \right) + \left( {C_k^0{a^k}b + C_k^1{a^{k - 1}}{b^2} + ... + C_k^{k - 1}a{b^k} + C_k^k{b^{k + 1}}} \right)\\ = C_k^0{a^{k + 1}} + \left( {C_k^1 + C_k^0} \right){a^k}b + ... + \left( {C_k^m + C_k^{m - 1}} \right){a^{k + 1 - m}}{b^m} + ... + \left( {C_k^k + C_k^{k - 1}} \right)a{b^k} + C_k^k{b^{k + 1}}\end{array}\)
Mà \(C_k^m + C_k^{m - 1} = C_{k + 1}^m\;(0 \le m \le k),\;C_k^0 = C_{k + 1}^0 = 1,C_k^k = C_{k + 1}^{k + 1} = 1\)
\( \Rightarrow {(a + b)^{k + 1}} = C_{k + 1}^0{a^{k + 1}} + C_{k + 1}^1{a^k}b + ... + C_{k + 1}^ka{b^k} + C_{k + 1}^{k + 1}{b^{k + 1}}\)
Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Bài 8 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học. Bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm như vectơ, phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và đặc biệt là ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh các tính chất hình học.
Bài 8 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài 8 trang 38, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng phần của bài tập. (Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 8, ví dụ:)
Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng vectơ AM = (1/2) vectơ (AB + AC).
Lời giải:
(Giải thích tương tự cho câu b)
Để giải các bài tập về vectơ một cách hiệu quả, các em cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức về vectơ, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những mẹo giải bài tập hiệu quả trên đây, các em sẽ tự tin hơn khi giải bài 8 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều và các bài tập về vectơ nói chung. Chúc các em học tập tốt!