Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng bạn giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 25 và 26 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^1} = 1 + \sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^1} = 1 - \sqrt 2 \) có dạng \({a_1} + {b_1}\sqrt 2 ,{a_1} - {b_1}\sqrt 2 \) với \({a_1} = 1;{b_1} = 1\) là các số nguyên dương
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}};{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^{k + 1}}\) có dạng \({a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} - {b_{k + 1}}\sqrt 2 \) với \({a_{k + 1}};{b_{k + 1}}\) là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} - {b_k}\sqrt 2 \) với \({a_k};{b_k}\) là các số nguyên dương.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ = \left( {{a_k} + {b_k}\sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 + {a_k}\sqrt 2 + {b_k}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\\ = \left( {{a_k} + 2{b_k}} \right) + \left( {{a_k} + {b_k}} \right)\sqrt 2 \\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 \end{array}\)
Trong đó \({a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \in \mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \in \mathbb{N}*\)
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^1} = 1 + \sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^1} = 1 - \sqrt 2 \) có dạng \({a_1} + {b_1}\sqrt 2 ,{a_1} - {b_1}\sqrt 2 \) với \({a_1} = 1;{b_1} = 1\) là các số nguyên dương
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}};{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^{k + 1}}\) có dạng \({a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} - {b_{k + 1}}\sqrt 2 \) với \({a_{k + 1}};{b_{k + 1}}\) là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} - {b_k}\sqrt 2 \) với \({a_k};{b_k}\) là các số nguyên dương.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ = \left( {{a_k} + {b_k}\sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 + {a_k}\sqrt 2 + {b_k}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\\ = \left( {{a_k} + 2{b_k}} \right) + \left( {{a_k} + {b_k}} \right)\sqrt 2 \\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 \end{array}\)
Trong đó \({a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \in \mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \in \mathbb{N}*\)
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh \({16^n} - 15n - 1\) chia hết cho 225 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({16^1} - 15.1 - 1 = 0\) chia hết cho 225.
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1\) chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({16^k} - 15k - 1\) chia hết cho 225.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 = {16.16^k} - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 16(15k + 1) - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 225k\end{array}\)
Chia hết cho 225
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh \({16^n} - 15n - 1\) chia hết cho 225 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({16^1} - 15.1 - 1 = 0\) chia hết cho 225.
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1\) chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({16^k} - 15k - 1\) chia hết cho 225.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 = {16.16^k} - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 16(15k + 1) - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 225k\end{array}\)
Chia hết cho 225
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều tập trung vào các kiến thức về vectơ, bao gồm các khái niệm cơ bản, các phép toán trên vectơ, và ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương trình Toán học ở các lớp trên.
Bài tập 1 yêu cầu chúng ta xác định các vectơ bằng nhau. Để giải bài tập này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của hai vectơ bằng nhau: hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Ví dụ, cho hai vectơ a và b. Nếu a = b thì |a| = |b| và a và b cùng hướng.
Bài tập 2 thường liên quan đến việc tìm tọa độ của một vectơ. Để giải bài tập này, chúng ta cần sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ khi biết tọa độ của các điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Ví dụ, nếu A(xA, yA) và B(xB, yB) thì AB = (xB - xA, yB - yA).
Bài tập 3 có thể yêu cầu chúng ta thực hiện các phép toán trên vectơ, như cộng, trừ, nhân với một số thực. Để giải bài tập này, chúng ta cần áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân vectơ. Ví dụ, nếu a = (x1, y1) và b = (x2, y2) thì a + b = (x1 + x2, y1 + y2).
Bài tập 4 thường liên quan đến việc chứng minh các đẳng thức vectơ. Để giải bài tập này, chúng ta cần sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ và các tính chất của phép toán vectơ. Ví dụ, để chứng minh a + b = b + a, chúng ta có thể sử dụng tính chất giao hoán của phép cộng vectơ.
Bài tập 5 có thể yêu cầu chúng ta áp dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Để giải bài tập này, chúng ta cần vẽ hình, xác định các vectơ liên quan, và sử dụng các công thức và định lý vectơ để tìm ra lời giải.
Vectơ là một khái niệm quan trọng trong Toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, như vật lý, kỹ thuật, và khoa học máy tính. Ví dụ, trong vật lý, vectơ được sử dụng để biểu diễn các đại lượng vật lý có cả độ lớn và hướng, như vận tốc, lực, và gia tốc. Trong kỹ thuật, vectơ được sử dụng để mô tả các chuyển động và lực tác dụng lên các vật thể.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trong bài viết này, bạn đã có thể tự tin giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 25, 26 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
