Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương 5 trong sách giáo khoa Toán 12 Chân trời sáng tạo là một phần quan trọng, đặt nền móng cho việc hiểu và vận dụng hình học không gian. Chương này tập trung vào việc xây dựng và sử dụng các phương trình để mô tả và phân tích các đối tượng hình học ba chiều như mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu.

I. Phương trình mặt phẳng

Để hiểu rõ về phương trình mặt phẳng, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản như vectơ pháp tuyến, điểm thuộc mặt phẳng và phương trình tổng quát của mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó, (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Việc xác định vectơ pháp tuyến đóng vai trò then chốt trong việc tìm phương trình mặt phẳng.

II. Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng trong không gian có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau, bao gồm:

• Dạng tham số:x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct
• Dạng chính tắc:(x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c

Trong đó, (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

III. Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu có dạng:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó, (a, b, c) là tọa độ tâm của mặt cầu và R là bán kính của mặt cầu.

IV. Quan hệ tương giao giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

Chương 5 cũng đi sâu vào việc xét quan hệ tương giao giữa các đối tượng hình học. Cụ thể:

• Đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng có thể song song, nằm trong mặt phẳng, cắt mặt phẳng hoặc vuông góc với mặt phẳng.
• Hai mặt phẳng: Hai mặt phẳng có thể song song, trùng nhau hoặc cắt nhau.

Việc xác định quan hệ tương giao đòi hỏi phải sử dụng các công cụ như vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và giải hệ phương trình.

V. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Để giúp các em hiểu rõ hơn về các khái niệm và phương pháp giải, chúng ta sẽ xem xét một số bài tập minh họa:

Ví dụ 1:

Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1, -1, 2).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 1(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 3) = 0 => x - y + 2z - 3 = 0

Ví dụ 2:

Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm B(0, 1, -1) và có vectơ chỉ phương u = (2, -3, 1).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là: x = 2t, y = 1 - 3t, z = -1 + t

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức trong chương 5, các em cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ học tốt môn Toán 12 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúc các em thành công!