Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo là một phần quan trọng trong quá trình ôn tập và củng cố kiến thức về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.

Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Cho bốn điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\), \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\). a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện. b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\). c) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).

Đề bài

Cho bốn điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\), \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\).

c) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo 1

a) Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua ba điểm \(B\), \(C\), \(D\) nên sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\). Từ đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

Để chứng minh \(ABCD\) là một tứ diện, cần chỉ ra điểm \(A\) không nằm trên \(\left( {BCD} \right)\).

b) Chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách đó.

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\). Từ đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải chi tiết

Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo 2

a) Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua ba điểm \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\) nên sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;2; - 7} \right)\) và \(\overrightarrow {BD} = \left( {0;4; - 6} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {16; - 6; - 4} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(16\left( {x - 0} \right) - 6\left( {y - 2} \right) - 4\left( {z + 1} \right) = 0\), hay \(8x - 3y - 2z + 4 = 0\).

Thay toạ độ điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), ta thấy không thoả mãn, do \(8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4 = - 36 \ne 0\). Vậy điểm \(A\) không nằm trên \(\left( {BCD} \right)\), điều đó đồng nghĩa \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), khoảng cách đó bằng \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\)

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 6;3} \right)\) và \(\overrightarrow {CD} = \left( {1;2;1} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 12;0;12} \right)\). Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \( - 12\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 12\left( {z - 6} \right) = 0\), hay \( - x + z - 5 = 0\).

Tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán! Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo đặc sắc thuộc chuyên mục giải bài tập toán 12 trên nền tảng tài liệu toán. Với bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả, sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào đại học mơ ước nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội!

Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập điển hình về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:

Định nghĩa đạo hàm: Hiểu rõ đạo hàm của một hàm số tại một điểm là gì và cách tính đạo hàm.
Các quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp.
Ứng dụng đạo hàm: Biết cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu và điểm uốn của hàm số.

Nội dung bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Bài tập 13 thường yêu cầu học sinh thực hiện các công việc sau:

Tính đạo hàm: Tính đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của hàm số.
Tìm cực trị: Xác định các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0.
Khảo sát tính đơn điệu: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm.
Tìm điểm uốn: Xác định các điểm uốn của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bậc hai bằng 0.
Vẽ đồ thị hàm số: Sử dụng các thông tin đã tìm được để vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là:

f(x) = x³ - 3x² + 2

Bước 1: Tính đạo hàm

f'(x) = 3x² - 6x

f''(x) = 6x - 6

Bước 2: Tìm cực trị

Giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu

Xét dấu f'(x):

Khi x < 0: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
Khi x > 2: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Bước 4: Tìm điểm uốn

Giải phương trình f''(x) = 0:

6x - 6 = 0

x = 1

Bước 5: Kết luận

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 có:

Điểm cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
Điểm cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Điểm uốn tại x = 1.

Mẹo giải bài tập đạo hàm hiệu quả

Để giải các bài tập về đạo hàm một cách nhanh chóng và chính xác, các em học sinh có thể tham khảo một số mẹo sau:

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản: Điều này giúp các em tiết kiệm thời gian và tránh sai sót trong quá trình tính đạo hàm.
Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách linh hoạt: Các quy tắc tính đạo hàm là công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp.
Kiểm tra lại kết quả: Sau khi giải xong bài tập, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Luyện tập thường xuyên: Luyện tập thường xuyên là cách tốt nhất để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập đạo hàm.

Tài liệu tham khảo hữu ích

Ngoài SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập và ôn luyện:

Sách bài tập Toán 12
Các trang web học toán online uy tín
Các video bài giảng Toán 12 trên YouTube

Hy vọng với lời giải chi tiết và những chia sẻ trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo và đạt kết quả tốt trong môn Toán.