Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, cung cấp các bài giải chuẩn xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học.
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi (n in mathbb{N}*).
Đề bài
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
a) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}\)
b) \(1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n(3n + 1) = n{(n + 1)^2}\)
c) \(\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}} = \frac{n}{{2n + 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({1^3} = \frac{{{1^2}{{(1 + 1)}^2}}}{4}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4}\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\(\begin{array}{l}{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3}\\ = {(k + 1)^2}\left( {\frac{{{k^2}}}{4} + k + 1} \right) = \frac{{{{(k + 1)}^2}({k^2} + 4k + 4)}}{4}\\ = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1.4 = 1.{(1 + 1)^2}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k + 1) = k{(k + 1)^2}\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1) = (k + 1){(k + 2)^2}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\(\begin{array}{l}1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1)\\ = k{(k + 1)^2} + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)\left[ {k(k + 1) + 3k + 4} \right]\\ = (k + 1)({k^2} + 4k + 4) = (k + 1){(k + 2)^2}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
c) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{3}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giải sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là ta có \({S_k} = \frac{k}{{2k + 1}}\)
Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{2(k + 1) + 1}}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + ... + \frac{1}{{(2k - 1)(2k + 1)}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{k}{{2k + 1}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k(2k + 3) + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{2{k^2} + 3k + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{{(k + 1)(2k + 1)}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k + 1}}{{2k + 3}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).
Bài 1 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các tính chất cơ bản của tập hợp để giải quyết các bài toán cụ thể. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ định nghĩa, các ký hiệu, và các quy tắc liên quan đến tập hợp.
Bài 1 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 1 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả, học sinh cần:
Bài toán: Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4} và B = {3, 4, 5, 6}. Tìm A ∪ B và A ∩ B.
Giải:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc B)
A ∩ B = {3, 4} (tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B)
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về tập hợp, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa, sách bài tập, và các nguồn tài liệu học tập khác. Ngoài ra, học sinh có thể tham khảo các bài giảng trực tuyến, các video hướng dẫn giải bài tập, và các diễn đàn học tập để trao đổi kinh nghiệm và học hỏi lẫn nhau.
Học Toán đòi hỏi sự kiên trì, chăm chỉ, và tư duy logic. Hãy dành thời gian ôn tập bài cũ, làm bài tập đầy đủ, và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
| Phép toán | Ký hiệu | Định nghĩa |
|---|---|---|
| Hợp | A ∪ B | Tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc B |
| Giao | A ∩ B | Tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B |
| Hiệu | A \ B | Tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B |
| Bù | CA | Tập hợp chứa tất cả các phần tử không thuộc A |
