Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Mục 4 trang 54, 55, 56 là một phần quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi sự nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp tối ưu, giúp bạn hiểu sâu sắc kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 7). Gọi \(d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)
Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 7). Gọi \(d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)
Ta có \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)
Dựa theo cách tính trên, tính \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(M{F_2} = \left| {a - ex} \right|\); \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{a}{e}} \right|\)
\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e\) ;
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e.\)
Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Hypebol \(({H_1})\) có \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{a}{e} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 5 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
b) Hypebol \(({H_2})\) có \(a = 6,b = 8\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10,e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3};\frac{a}{e} = \frac{{18}}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 10;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{18}}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {10;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{18}}{5} = 0\)
c) Hypebol \(({H_3})\) có \(a = b = 3\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3\sqrt 2 ,e = \frac{c}{a} = \sqrt 2 ;\frac{a}{e} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 3\sqrt 2 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {3\sqrt 2 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{288}}{{13}}\).
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi hypebol (H) cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((0 < b < a)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 26 \Leftrightarrow c = 13\)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{288}}{{13}} \Rightarrow a = 12\)
Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 5\)
Vậy PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 7). Gọi \(d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)
Ta có \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)
Dựa theo cách tính trên, tính \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(M{F_2} = \left| {a - ex} \right|\); \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{a}{e}} \right|\)
\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e\) ;
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e.\)
Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Hypebol \(({H_1})\) có \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{a}{e} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 5 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
b) Hypebol \(({H_2})\) có \(a = 6,b = 8\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10,e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3};\frac{a}{e} = \frac{{18}}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 10;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{18}}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {10;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{18}}{5} = 0\)
c) Hypebol \(({H_3})\) có \(a = b = 3\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3\sqrt 2 ,e = \frac{c}{a} = \sqrt 2 ;\frac{a}{e} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 3\sqrt 2 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {3\sqrt 2 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{288}}{{13}}\).
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi hypebol (H) cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((0 < b < a)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 26 \Leftrightarrow c = 13\)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{288}}{{13}} \Rightarrow a = 12\)
Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 5\)
Vậy PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Mục 4 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng này là nền tảng quan trọng cho các chương trình học toán ở các lớp trên.
Trang 54 tập trung vào các bài tập về khái niệm vectơ và các phép toán vectơ cơ bản. Các bài tập này giúp học sinh làm quen với việc biểu diễn vectơ, thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ và nhân vectơ với một số thực.
Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 4). Tính a + b và 2a.
Giải:
Trang 55 giới thiệu về tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của nó. Các bài tập trên trang này yêu cầu học sinh tính tích vô hướng của hai vectơ, sử dụng tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ và kiểm tra tính vuông góc.
Ví dụ 2: Cho hai vectơ u = (2; -1) và v = (1; 3). Tính tích vô hướng u.v.
Giải:
u.v = 2 * 1 + (-1) * 3 = 2 - 3 = -1
Trang 56 tập trung vào các ứng dụng của vectơ trong hình học, đặc biệt là việc chứng minh các đẳng thức hình học và giải các bài toán liên quan đến vectơ. Các bài tập này đòi hỏi học sinh phải kết hợp kiến thức về vectơ và hình học để tìm ra lời giải.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, với M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 2AM = AB + AC.
Giải:
Sử dụng quy tắc trung điểm, ta có AM = (AB + AC) / 2. Do đó, 2AM = AB + AC (đpcm).
Sách giáo khoa Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Các bài giảng trực tuyến về vectơ
Các trang web và diễn đàn học toán
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 4 trang 54, 55, 56 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
