Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 4 trang 32 trong Chuyên đề học tập Toán 10, chương trình Chân trời sáng tạo. Chúng tôi sẽ phân tích từng bước giải, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Giaitoan.edu.vn là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải, lý thuyết và bài tập Toán 10.
Cho \(a,b \ge 0\). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Cho \(a,b \ge 0\). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\)
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(\frac{{{a^1} + {b^1}}}{2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^1}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giải sử bất đẳng thức đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}\)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}.\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\)
Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được:
\(\left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}\)
Hay \(\left( {{a^k} + {b^k}} \right).\left( {a + b} \right) \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)\)
Hay \({a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} + b{a^k} + a{b^k} \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)\)
Hay \({a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} - b{a^k} - a{b^k} \ge 0\)
Hay \(\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\) đúng vì \(\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\) và \(\left( {a - b} \right)\) cùng dấu, \(k \in \mathbb{N}*;a,b \ge 0.\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo thường tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ, phép toán vectơ, và các ứng dụng của vectơ trong hình học. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững định nghĩa vectơ, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng của hai vectơ. Ngoài ra, việc hiểu rõ các tính chất của vectơ và các ứng dụng của chúng trong việc chứng minh các đẳng thức hình học cũng rất quan trọng.
Trước khi bắt đầu giải bài, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này giúp bạn tập trung vào các thông tin cần thiết và tránh bỏ sót các bước giải quan trọng. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu bạn chứng minh một đẳng thức vectơ, tìm một vectơ thỏa mãn một điều kiện nào đó, hoặc tính toán một giá trị liên quan đến vectơ.
Để cung cấp hướng dẫn giải chi tiết, cần biết nội dung cụ thể của bài 4 trang 32. Tuy nhiên, dưới đây là một ví dụ về cách tiếp cận giải một bài toán liên quan đến vectơ:
Đề bài: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 2MA2 + AB2 + AC2 = 3BC2
Lời giải:
Các bài tập về vectơ trong chương trình Toán 10 thường gặp các dạng sau:
Giải bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ. Bằng cách phân tích đề bài, xác định yêu cầu, và áp dụng các kiến thức đã học, bạn có thể giải quyết bài toán một cách hiệu quả. Giaitoan.edu.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn học Toán 10 tốt hơn.
