Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 30, 31 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài toán phức tạp.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp thu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Chứng minh rằng ({n^3} + 2n) chia hết cho 3 với mọi (n in mathbb{N}*)
Chứng minh rằng \({n^3} + 2n\) chia hết cho 3 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({1^3} + 2.1 = 3\) chia hết cho 3
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({k^3} + 2k\) chia hết cho 3
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1)\) chia hết cho 3
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \left( {{k^3} + 2k} \right) + 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần \((n \in \mathbb{N}*)\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Gọi I là điểm mà các đường thẳng đi qua
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có một đường thẳng đi qua điểm I chia mặt phẳng thành 2 phần.
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: k đường thẳng đi qua I chia mặt phẳng thành 2k phần. Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là chứng minh k+1 đường thẳng cùng đi qua I chia mặt phẳng thành 2(k+1) phần.
Gọi đường thẳng thứ k+1 là d. Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng đầu tiên chia mặt phẳng thành 2k phần
Dễ thấy: Mỗi phần mặt phẳng đều là phần trong của góc có đỉnh là I và cạnh nằm trên các đường thẳng đã cho. Hơn nữa các góc tạo thành các cặp góc đối đỉnh.
Do các đường thẳng là khác nhau nên đường thẳng d phải nằm trong 1 cặp góc đối đỉnh nào đó. Nó chia 2 phần là phần trong của cặp góc này thành 4 phần.
Do đó số phần mặt phẳng được chia bởi k+1 đường thẳng là \(2k + 2 = 2(k + 1)\).
Vậy mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{n - 1}} = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 - q}}{{1 - q}}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\(\begin{array}{l}1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + {q^k}\\ = \frac{{1 - {q^k} + {q^k}(1 - q)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^k} + {q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền sau mỗi kì hạn nếu khoongg rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, ngguowif gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi \({T_n}\) là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ n \((n \in \mathbb{N}*)\).
a) Tính \({T_1},{T_2},{T_3}.\)
b) Từ đó, dự đoán công thức tính \({T_n}\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải:
PP quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được: \({T_1} = A + A.r = A(1 + r)\)
Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là \({T_1}\), vậy người đó nhận được: \({T_2} = {T_1} + {T_1}.r = {T_1}(1 + r) = A.{(1 + r)^2}\)
Sau kì thứ 3 người đó nhận được: \({T_3} = {T_2} + {T_2}.r = {T_2}(1 + r) = A.{(1 + r)^3}\)
b) Dự đoán: \({T_n} = A.{(1 + r)^n}\) (*)
Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({T_1} = A(1 + r)\)
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({T_k} = A.{(1 + r)^k}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({T_{k + 1}} = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k+1, khi đó số tiền nhận được là \({T_{k + 1}} = {T_k} + {T_k}.r = {T_k}(1 + r) = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Chứng minh rằng \({n^3} + 2n\) chia hết cho 3 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({1^3} + 2.1 = 3\) chia hết cho 3
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({k^3} + 2k\) chia hết cho 3
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1)\) chia hết cho 3
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \left( {{k^3} + 2k} \right) + 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{n - 1}} = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 - q}}{{1 - q}}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\(\begin{array}{l}1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + {q^k}\\ = \frac{{1 - {q^k} + {q^k}(1 - q)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^k} + {q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần \((n \in \mathbb{N}*)\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Gọi I là điểm mà các đường thẳng đi qua
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có một đường thẳng đi qua điểm I chia mặt phẳng thành 2 phần.
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: k đường thẳng đi qua I chia mặt phẳng thành 2k phần. Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là chứng minh k+1 đường thẳng cùng đi qua I chia mặt phẳng thành 2(k+1) phần.
Gọi đường thẳng thứ k+1 là d. Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng đầu tiên chia mặt phẳng thành 2k phần
Dễ thấy: Mỗi phần mặt phẳng đều là phần trong của góc có đỉnh là I và cạnh nằm trên các đường thẳng đã cho. Hơn nữa các góc tạo thành các cặp góc đối đỉnh.
Do các đường thẳng là khác nhau nên đường thẳng d phải nằm trong 1 cặp góc đối đỉnh nào đó. Nó chia 2 phần là phần trong của cặp góc này thành 4 phần.
Do đó số phần mặt phẳng được chia bởi k+1 đường thẳng là \(2k + 2 = 2(k + 1)\).
Vậy mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền sau mỗi kì hạn nếu khoongg rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, ngguowif gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi \({T_n}\) là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ n \((n \in \mathbb{N}*)\).
a) Tính \({T_1},{T_2},{T_3}.\)
b) Từ đó, dự đoán công thức tính \({T_n}\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải:
PP quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được: \({T_1} = A + A.r = A(1 + r)\)
Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là \({T_1}\), vậy người đó nhận được: \({T_2} = {T_1} + {T_1}.r = {T_1}(1 + r) = A.{(1 + r)^2}\)
Sau kì thứ 3 người đó nhận được: \({T_3} = {T_2} + {T_2}.r = {T_2}(1 + r) = A.{(1 + r)^3}\)
b) Dự đoán: \({T_n} = A.{(1 + r)^n}\) (*)
Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({T_1} = A(1 + r)\)
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({T_k} = A.{(1 + r)^k}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({T_{k + 1}} = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k+1, khi đó số tiền nhận được là \({T_{k + 1}} = {T_k} + {T_k}.r = {T_k}(1 + r) = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và phương pháp giải là yếu tố then chốt để giải quyết thành công các bài tập. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về nội dung chính của mục 2, đồng thời trình bày chi tiết lời giải cho từng bài tập trang 30 và 31, kèm theo các lưu ý quan trọng.
Để hiểu rõ hơn về các bài tập trong mục 2, trước tiên chúng ta cần nắm vững các khái niệm và định lý liên quan. (Nội dung cụ thể của mục 2 sẽ được trình bày chi tiết ở đây, tùy thuộc vào chương trình học. Ví dụ: nếu mục 2 nói về hàm số bậc hai, sẽ trình bày định nghĩa, tính chất, đồ thị hàm số bậc hai, v.v.)
Sau khi đã giải chi tiết các bài tập trong mục 2, chúng ta cần rút ra những kinh nghiệm và phương pháp giải chung để áp dụng cho các bài tập tương tự. (Trình bày các phương pháp giải, ví dụ: phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng công thức, phương pháp phân tích, v.v.)
Để củng cố kiến thức và kỹ năng, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ minh họa về cách áp dụng các phương pháp giải đã học. (Đưa ra các bài tập ví dụ và giải chi tiết).
Để tự đánh giá khả năng của mình, các em có thể tự giải các bài tập luyện tập sau đây. (Đưa ra các bài tập luyện tập và đáp án).
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết thành công các bài tập trong mục 2 trang 30, 31 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
| Chủ đề | Nội dung |
|---|---|
| Định nghĩa hàm số | ... |
| Tính chất hàm số | ... |
