Chương 2 Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 2: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân - SGK Toán 11 - Cánh diều

Chương 2 trong sách giáo khoa Toán 11 - Cánh diều tập trung vào việc xây dựng và nghiên cứu các khái niệm quan trọng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Đây là những kiến thức nền tảng, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tế và là bước đệm cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.

I. Dãy số

1. Khái niệm dãy số: Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập hợp con của nó. Mỗi số hạng của dãy số được gọi là một phần tử của dãy.

2. Cách xác định dãy số: Dãy số có thể được xác định bằng công thức tổng quát, bằng phương pháp đệ quy hoặc bằng cách liệt kê các phần tử.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi: Phân loại dãy số dựa trên sự thay đổi của các phần tử.

II. Cấp số cộng

1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi vào số hạng đứng trước nó. Số không đổi đó được gọi là công sai (d).

2. Công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n-1)d

3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

4. Tính chất của cấp số cộng: u_k = (u_i + u_j)/2 nếu i + j = 2k

III. Cấp số nhân

1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi. Số không đổi đó được gọi là công bội (q).

2. Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^(n-1)

3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

• Nếu q = 1: S_n = n * u₁
• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

4. Tính chất của cấp số nhân: u_k² = u_i * u_j nếu i + j = 2k

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Giải: u₁₀ = u₁ + (10-1)d = 2 + 9*3 = 29

Bài 2: Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2.

Giải: S₂₀ = u₁ * (1 - q²⁰) / (1 - q) = 1 * (1 - 2²⁰) / (1 - 2) = 2²⁰ - 1 = 1048575

V. Ứng dụng của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, như:

• Tài chính: Tính lãi kép, tính giá trị tương lai của khoản đầu tư.
• Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
• Sinh học: Mô tả sự tăng trưởng của quần thể.
• Tin học: Thuật toán đệ quy, cấu trúc dữ liệu.

Chương 2 này cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và ứng dụng chúng vào thực tế.