Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Cánh diều, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa lượng giác. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4 trang 56, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right))
Đề bài
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3;{u_3} = \frac{{27}}{4}\)
a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên
b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào công thức tổng quát và tính tổng của cấp số nhân để xác định
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \({u_3} = {u_1}.{q^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{{27}}{4}} \right) = 3.{q^2} \Leftrightarrow q = \frac{3}{2}\) hoặc \(q = - \frac{3}{2}\)
TH1:\(q = \frac{3}{2}\)
Năm số hạng đầu của cấp số nhân: \(3;\frac{9}{2};\frac{{27}}{4};\frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}\)
TH2: \(q = - \frac{3}{2}\)
Năm số hạng đầu của cấp số nhân: \(3; - \frac{9}{2};\frac{{27}}{4}; - \frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}\)
b) Tổng 10 số hạng đầu:
TH1: \(q = \frac{3}{2}\)
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{3.\frac{{ - 58025}}{{1024}}}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{ - 174075}}{{1024}}.\left( { - 2} \right) = \frac{{174075}}{{512}}\)
TH2: \(q = - \frac{3}{2}\)
\({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 3.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - \frac{3}{2}} \right)}} = - \frac{{11605}}{{512}}\)
Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa lượng giác. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, kỹ năng biến đổi đại số và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
Bài tập yêu cầu học sinh chứng minh các đẳng thức lượng giác. Để làm được điều này, học sinh cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản như công thức cộng, trừ, nhân, chia góc, công thức hạ bậc, nâng bậc, và các công thức biến đổi khác.
Để giải bài tập này, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
a) sin(a + b)sin(a - b) = cos2a - sin2b
Ta có:
sin(a + b)sin(a - b) = (sin a cos b + cos a sin b)(sin a cos b - cos a sin b)
= sin2a cos2b - cos2a sin2b
= sin2a(1 - sin2b) - (1 - sin2a)sin2b
= sin2a - sin2a sin2b - sin2b + sin2a sin2b
= sin2a - sin2b
Vậy, sin(a + b)sin(a - b) = cos2a - sin2b (đpcm)
b) cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sin2b
Ta có:
cos(a + b)cos(a - b) = (cos a cos b - sin a sin b)(cos a cos b + sin a sin b)
= cos2a cos2b - sin2a sin2b
= cos2a(1 - sin2b) - (1 - cos2a)sin2b
= cos2a - cos2a sin2b - sin2b + cos2a sin2b
= cos2a - sin2b
Vậy, cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sin2b (đpcm)
Để củng cố kiến thức về phép biến hóa lượng giác, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều và các tài liệu tham khảo khác.
Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán lượng giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
