Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 tập 1 - Cánh diều, tập trung vào việc giải tích hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh, trục đối xứng, và các điểm đặc biệt của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 8 trang 58, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, biết số hạng tổng quát:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:
a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng khái niệm, định nghĩa tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số.
Lời giải chi tiết
a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
Xét hiệu
\(u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}\)
\(= \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2 + 3n + 2} = \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3n + 2} > 0\)
Do đó \(u_n + 1 > u_n \quad (1)\)
Ta có: \(u_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)
Vì \(0 < \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2} \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) nên \( -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{n+1} < 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)
hay \(\frac{1}{2} \leq u_n < 1\) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \quad (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn.
b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)
Xét hiệu
\(u_{n+1} - u_n = \frac{2}{5^{n+1}} - \frac{2}{5^n}\)
\(= \frac{2 - 2 \cdot 5}{5^{n+1}} = \frac{2 - 10}{5^{n+1}} = -\frac{8}{5^{n+1}} < 0\)
Do đó \(u_n + 1 < u_n \quad (3)\)
Vì \(0 < \frac{2}{5^n} \leq \frac{2}{5}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^* \quad (4)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.
Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x2 - 4x + 3.
Để tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x2 - 4x + 3, ta sử dụng công thức:
Trong đó, a = 1, b = -4, c = 3.
Vậy:
Tọa độ đỉnh của parabol là (2; -1).
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = xđỉnh.
Vậy, trục đối xứng của parabol là x = 2.
Giao điểm của parabol với trục hoành là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Ta có phương trình: x2 - 4x + 3 = 0
Giải phương trình bậc hai này, ta được:
Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
x1 = (-b + √Δ) / 2a = (4 + 2) / 2 = 3
x2 = (-b - √Δ) / 2a = (4 - 2) / 2 = 1
Vậy, giao điểm của parabol với trục hoành là (1; 0) và (3; 0).
Giao điểm của parabol với trục tung là điểm có hoành độ x = 0.
Ta có f(0) = 02 - 4 * 0 + 3 = 3
Vậy, giao điểm của parabol với trục tung là (0; 3).
Dựa vào các thông tin đã tìm được ở trên, ta có thể vẽ được parabol y = x2 - 4x + 3.
Parabol có đỉnh tại (2; -1), trục đối xứng là x = 2, giao điểm với trục hoành là (1; 0) và (3; 0), giao điểm với trục tung là (0; 3).
Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về các yếu tố cơ bản của parabol và cách xác định chúng. Việc nắm vững kiến thức này sẽ là nền tảng vững chắc cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn về hàm số bậc hai trong chương trình Toán 11.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn rõ ràng trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài giải khác tại giaitoan.edu.vn để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán.
