Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Dãy số trong chương trình Toán 11 Cánh Diều tại giaitoan.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức nền tảng, các định nghĩa, tính chất và ví dụ minh họa giúp bạn hiểu rõ về dãy số.

Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến hiệu quả và thú vị. Hãy cùng bắt đầu khám phá thế giới của dãy số!

I. Khái niệm

I. Khái niệm

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u: \(\left\{ {1;2;3;...;m} \right\} \to \mathbb{R}\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương \(k\left( {1 \le k \le m} \right)\) tương ứng với đúng một số \({u_k}\) nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\)

Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_m}\) là số hạng cuối cùng của dãy số đó.

Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u: \({\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\) được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương \(n\) tương ứng với đúng một số \({u_n}\) nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)

Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
Công thức của số hạng tổng quát.
Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạn tổng quát của dãy số đó.
Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

4. Dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều 1

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Sách bài tập Toán 11 trên nền tảng tài liệu toán. Bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều

Dãy số là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THPT. Hiểu rõ về dãy số là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong các chương trình học tiếp theo. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết Dãy số theo SGK Toán 11 Cánh Diều, giúp bạn nắm vững kiến thức một cách dễ dàng.

1. Định nghĩa Dãy số

Một dãy số là một hàm số u được xác định trên tập hợp các số tự nhiên ℕ (hoặc một tập con của ℕ) và nhận giá trị trong tập số thực ℝ. Ký hiệu: u: ℕ → ℝ.

Mỗi số hạng của dãy số được gọi là một phần tử của dãy số. Thông thường, dãy số được ký hiệu là (u_n), trong đó u_n là số hạng thứ n của dãy số.

2. Các loại Dãy số thường gặp

Dãy số hữu hạn: Dãy số chỉ có một số hữu hạn các số hạng. Ví dụ: (1, 2, 3, 4, 5).
Dãy số vô hạn: Dãy số có vô số các số hạng. Ví dụ: (1, 2, 3, ...).
Dãy số tăng: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ ℕ.
Dãy số giảm: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ ℕ.
Dãy số không đổi: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số không đổi nếu u_n+1 = u_n với mọi n ∈ ℕ.

3. Cách xác định Dãy số

Có nhiều cách để xác định một dãy số:

Bằng công thức tổng quát:u_n = f(n), trong đó f(n) là một biểu thức chứa biến n. Ví dụ: u_n = 2n + 1.
Bằng phương pháp đệ quy: Xác định số hạng đầu tiên u₁ và công thức tính số hạng thứ n+1 theo số hạng thứ n: u_n+1 = g(u_n). Ví dụ: u₁ = 1, u_n+1 = u_n + 2.
Bằng cách liệt kê các số hạng: Liệt kê trực tiếp các số hạng của dãy số. Ví dụ: (2, 4, 6, 8, ...).

4. Dãy số đặc biệt: Cấp số cộng và Cấp số nhân

a. Cấp số cộng:

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng (từ số hạng thứ hai trở đi) bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d, gọi là công sai. Công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n - 1)d.

b. Cấp số nhân:

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng (từ số hạng thứ hai trở đi) bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi q, gọi là công bội. Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^{(n - 1)}.

5. Bài tập Vận dụng

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của dãy số (u_n) với u₁ = 1 và u_n+1 = u_n + 3.

Giải: Đây là một cấp số cộng với u₁ = 1 và d = 3. Số hạng thứ 10 là: u₁₀ = 1 + (10 - 1) * 3 = 28.

Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 của dãy số (u_n) với u₁ = 2 và u_n+1 = 2 * u_n.

Giải: Đây là một cấp số nhân với u₁ = 2 và q = 2. Số hạng thứ 5 là: u₅ = 2 * 2^{(5 - 1)} = 32.

6. Kết luận

Lý thuyết Dãy số là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và cách xác định dãy số sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập.