Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số nhân, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản, công thức và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ và áp dụng hiệu quả kiến thức này.
Chúng tôi tại giaitoan.edu.vn cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học toán online tốt nhất, với nội dung được trình bày rõ ràng, dễ hiểu và đầy đủ.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q. Tức là:
\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
* Chú ý: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).
2. Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)
3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ lý thuyết cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số, chuỗi số và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác.
Một dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho un+1 = q.un với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u1, u2, ..., un) được tính theo công thức:
Sn = u1(1 - qn) / (1 - q) (với q ≠ 1)
Nếu q = 1 thì Sn = n.u1
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân.
Giải: u5 = u1.q5-1 = 2.34 = 2.81 = 162
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = -2. Hãy tính tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Giải: S6 = u1(1 - q6) / (1 - q) = 1(1 - (-2)6) / (1 - (-2)) = (1 - 64) / 3 = -63 / 3 = -21
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Cánh Diều. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả vào giải các bài toán thực tế.
