Chương 2. Vecto và hệ tọa độ trong không gian

Chương 2: Vecto và Hệ Tọa Độ Trong Không Gian - Giải Toán 12 Tập 1

I. Giới thiệu chung

Chương 2 Toán 12 tập 1 tập trung vào việc nghiên cứu về vecto trong không gian và hệ tọa độ Oxyz. Đây là một phần quan trọng của chương trình Toán học lớp 12, cung cấp nền tảng cho việc giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

II. Các khái niệm cơ bản

1. Vectơ trong không gian

Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối.

Ký hiệu:AB, a

Các đặc trưng của vectơ:

• Độ dài: Khoảng cách giữa điểm gốc và điểm cuối.
• Hướng: Hướng của đoạn thẳng.

2. Các phép toán vectơ

Phép cộng vectơ:a + b

Phép trừ vectơ:a - b

Phép nhân vectơ với một số thực:k.a (k là số thực)

3. Hệ tọa độ Oxyz

Định nghĩa: Hệ tọa độ Oxyz là một hệ tọa độ ba chiều, bao gồm ba trục vuông góc nhau là Ox, Oy, Oz.

Tọa độ của một điểm: M(x₀; y₀; z₀)

Tọa độ của một vectơ:a = (x; y; z)

III. Các công thức quan trọng

1. Tích vô hướng của hai vectơ

a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.

Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ:a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

2. Tích có hướng của hai vectơ

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ a và b là một vectơ [a, b] có độ dài bằng diện tích hình bình hành tạo bởi a và b, và hướng vuông góc với mặt phẳng chứa a và b.

Công thức tính tích có hướng theo tọa độ:

3. Khoảng cách giữa hai điểm

Công thức:d(A, B) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

IV. Ứng dụng

Các kiến thức về vecto và hệ tọa độ trong không gian được ứng dụng rộng rãi trong việc:

• Biểu diễn các yếu tố hình học trong không gian.
• Giải các bài toán về khoảng cách, góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.
• Chứng minh các tính chất hình học.

V. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tính độ dài vectơ AB.

Giải:AB = (4-1; 5-2; 6-3) = (3; 3; 3)

|AB| = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Bài tập 2: Tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.

Giải: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2; -1; 1)

VI. Lời khuyên khi học chương 2

Để học tốt chương 2, bạn nên:

• Nắm vững các định nghĩa và tính chất cơ bản của vecto và hệ tọa độ trong không gian.
• Luyện tập thường xuyên các bài tập để hiểu rõ cách áp dụng các công thức.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính cầm tay hoặc phần mềm hình học để kiểm tra kết quả.

Chúc bạn học tốt môn Toán 12!