Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến kiến thức đã học.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3). a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3).
a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác, ta kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không. Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \), sau đó tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \). Nếu tích vô hướng bằng tích độ dài của hai vectơ, tức là , thì ba điểm thẳng hàng; ngược lại, chúng tạo thành một tam giác.
b) Trọng tâm G của tam giác ABC được xác định bằng công thức:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
c) Điểm D được xác định bằng cách sử dụng tính chất của hình bình hành: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .\) Tọa độ của tâm I của hình bình hành ABCD là trung điểm của hai đường chéo, và chu vi hình bình hành là 2(AB + BC).
Lời giải chi tiết
a) Tính các vectơ:
\(\overrightarrow {AB} = (1; - 4; - 2), \overrightarrow {AC} = ( - 2; - 4; - 6)\)
Tích vô hướng:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1( - 2) + ( - 4)( - 4) + ( - 2)( - 6) = - 2 + 16 + 12 = 26\).
Độ dài của các vectơ:
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {21}, \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {56} \)
So sánh:
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \approx \sqrt {21} \times \sqrt {56} = \sqrt {1176} \ne 26\)
Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tạo thành một tam giác.
b) Tọa độ trọng tâm \(G\):
\(G\left( {\frac{{1 + 2 - 1}}{3};\frac{{2 - 2 - 2}}{3};\frac{{3 + 1 - 3}}{3}} \right) = G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\)
c) Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), tức là \(\vec C - \vec D = \vec B - \vec A\), nên tọa độ D sẽ là:
\(D = (A - B) + C = (1 - 2;2 - ( - 2);3 - ( - 3)) + ( - 1; - 2; - 3) = ( - 2;2;3)\)
Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD :
\(I = \frac{{A + C}}{2} = \frac{{(1;2;3) + ( - 1; - 2; - 3)}}{2} = (0;0;0)\)
Chu vi hình bình hành ABCD :
\(AB = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(1 - 3)}^2}} = \sqrt {1 + 16 + 4} = \sqrt {21} \)
\(BC = \sqrt {{{( - 1 - 2)}^2} + {{( - 2 - ( - 2))}^2} + {{( - 3 - 1)}^2}} = \sqrt {9 + 0 + 16} = \sqrt {25} = 5\)
\(P = 2 \times (\sqrt {21} + 5)\)
Bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần hiểu rõ các khái niệm cơ bản như:
Bài tập 2.24 thường yêu cầu học sinh chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng, hoặc tính góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng. Để làm được điều này, chúng ta cần sử dụng các định lý và tính chất đã học trong chương trình.
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 một cách chi tiết:
Đề bài: (Giả sử đề bài cụ thể của bài tập 2.24)
Phân tích:
Lời giải:
(Giải bài tập chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng)
Ngoài bài tập 2.24, còn rất nhiều bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 và các đề thi thử. Để giúp các em luyện tập và củng cố kiến thức, chúng tôi xin giới thiệu một số dạng bài tập tương tự:
Để giải các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng một cách hiệu quả, các em có thể tham khảo một số mẹo sau:
Để học tốt môn Toán 12, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng bài giải chi tiết bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng. Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
| Khái niệm | Định nghĩa |
|---|---|
| Đường thẳng song song với mặt phẳng | Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung. |
| Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng | Góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. |
