Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về cách biểu diễn và thực hiện các phép toán với vecto trong hệ tọa độ.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách xác định tọa độ của một vecto, cách thực hiện các phép cộng, trừ, nhân vecto với một số, và đặc biệt là các phép tích vô hướng, tích có hướng thông qua tọa độ. Đây là những kiến thức then chốt để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả.
1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu các vecto và tích của một số với một vecto
1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu các vecto và tích của một số với một vecto
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có: +) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\). +) \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\). +) \(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực. |
Ví dụ: Cho \(\overrightarrow a = (2; - 1;5),\overrightarrow b = (0;3; - 3),\overrightarrow c = (1;4; - 2)\). Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow d = 2\overrightarrow a - \frac{1}{5}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c \).
Lời giải:
Ta có: \(2\overrightarrow a = (4; - 2;10);\frac{1}{5}\overrightarrow b = \left( {0;3; - 3} \right),3\overrightarrow c = (3;12; - 6)\).
Do đó \(\overrightarrow d = \left( {4 - 0 + 3; - 2 - \frac{3}{5} + 12;10 - \left( { - \frac{3}{5}} \right) + ( - 6)} \right)\) hay \(\overrightarrow d = \left( {7;\frac{{47}}{5};\frac{{23}}{5}} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó: +) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\). +) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{2}} \right)\). |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho tam giác MNP có M(3;7;2), N(5;1;-1) và P(4;-4;-2). Tìm tọa độ:
a) Trung điểm I của đoạn thẳng MN.
b) Trọng tâm G của tam giác MNP.
Lời giải:
a) Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm M(3;7;2) và N(5;1;-1), ta có \(I\left( {\frac{{3 + 5}}{2};\frac{{7 + 1}}{2};\frac{{2 - 1}}{2}} \right)\) hay I(4;4;\(\frac{1}{2}\)).
b) Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm theo tọa độ các đỉnh của tam giác MNP, ta có \(G(\frac{{3 + 5 + 4}}{3};\frac{{7 + 1 - 4}}{3};\frac{{2 - 1 - 2}}{3})\) hay \(G(4;\frac{4}{3}; - \frac{1}{3})\).
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vecto
| Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\). |
Nhận xét: Từ công thức tính tích vô hướng hai vecto theo tọa độ, ta suy ra:
+) Nếu \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) thì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \)
+) Nếu \(A({x_A};{y_A};{z_A});B({x_B};{y_B};{z_B})\) thì khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \)
+) Nếu hai vecto \(\overrightarrow a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow b = ({x_2};{y_2};{z_2})\) khác \(\overrightarrow 0 \) thì:
\(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2} .\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2} }}\)
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0\).
Trong chương trình Toán 12, phần hình học không gian đóng vai trò quan trọng, và việc nắm vững lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto là nền tảng để giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết này, kèm theo các ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ hơn.
Một vectơ trong không gian được xác định bởi hướng và độ dài. Để biểu diễn vectơ trong hệ tọa độ, ta sử dụng tọa độ của vectơ. Cho vectơ a, tọa độ của a trong hệ tọa độ Oxyz là a = (x; y; z), trong đó x, y, z là các số thực.
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính bằng công thức:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Ứng dụng của tích vô hướng:
Tích có hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính bằng công thức:
a × b = (y1z2 - z1y2; z1x2 - x1z2; x1y2 - y1x2)
Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó. Độ dài của tích có hướng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ.
Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và a ⋅ b.
a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
a ⋅ b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
Ví dụ 2: Cho a = (1; 0; 0) và b = (0; 1; 0). Tính a × b.
a × b = ((0)(0) - (0)(1); (0)(0) - (1)(0); (1)(1) - (0)(0)) = (0; 0; 1)
Để nắm vững lý thuyết này, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập có thể bao gồm việc tính toán các phép toán trên vectơ, tìm góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc, và tính diện tích hình bình hành. Việc áp dụng lý thuyết vào giải các bài toán hình học không gian sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về tầm quan trọng của nó.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong Toán 12. Chúc bạn học tập tốt!
