Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.2 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy \(a\) và đường cao \(h\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD và O, H lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD, MNPQ (Hình 2.6). a) Trong những vectơ khác \(\vec O\), có điểm đầu và điểm cuối là những điểm cho trên hình, hãy liệt kê các vectơ: - Cùng hướng với \(\overrightarrow {MN} \); - Bằng \(\overrightarrow {MN} \). b) Tìm độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MS} \) theo \(a\) và \(h\).
Đề bài
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy
\(a\) và đường cao \(h\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD và O, H lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD, MNPQ (Hình 2.6).
a) Trong những vectơ khác \(\vec O\), có điểm đầu và điểm cuối là những điểm cho trên hình, hãy liệt kê các vectơ:
- Cùng hướng với \(\overrightarrow {MN} \);
- Bằng \(\overrightarrow {MN} \).
b) Tìm độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MS} \) theo \(a\) và \(h\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Xác định các vectơ theo yêu cầu đề bài dựa trên lý thuyết về vectơ.
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ \(\vec a,\vec b\) bằng nhau thì ta viết là \(\vec a = \vec b\).
b) Sử dụng công thức và định lý để tính độ dài của vectơ.
Lời giải chi tiết
a) Liệt kê các vectơ
- Cùng hướng với \(\overrightarrow {MN} \):
Vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {MN} \) là các vectơ có phương và chiều giống với \(\overrightarrow {MN} \), cụ thể là: \(\overrightarrow {QP} \), \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {DC} \).
- Bằng \(\overrightarrow {MN} \):
Vectơ bằng \(\overrightarrow {MN} \) là các vectơ có độ dài và phương chiều giống với \(\overrightarrow {MN} \), cụ thể là: \(\overrightarrow {QP} \)
b) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MS} \)
- Tính độ dài \(\overrightarrow {MP} \):
Ta xét tam giác đều SAC có MP là đường trung bình của tam giác đều SAC
\(MP = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 2 \) (AC là đường chéo của hình vuông ABCD)
Do đó: \(\overrightarrow {MP} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
- Tính độ dài \(\overrightarrow {MS} \):
Ta xét tam giác vuông SOA với \(O\) là tâm của hình vuông đáy ABCD:
\(SA = \sqrt {{h^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \)
Vì \(M\) là trung điểm của SA, ta có: \(SM = \frac{1}{2}SA = \frac{1}{2}\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \)
Do đó: \(\overrightarrow {MS} = \frac{1}{2}\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \)
Bài tập 2.2 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài tập thường xoay quanh việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xác định các điểm cực trị và lập bảng biến thiên của hàm số. Việc nắm vững các bước thực hiện và hiểu rõ ý nghĩa của từng bước là vô cùng quan trọng để giải quyết bài tập một cách hiệu quả.
Giả sử bài tập 2.2 yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Bài tập 2.2 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Bằng cách nắm vững phương pháp giải và thực hành thường xuyên, các em sẽ có thể giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
