Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\) b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\) c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:
a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\)
b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\)
c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính tích vô hướng giữa hai vectơ, ta có thể áp dụng công thức:
\(\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos \theta \)
Lời giải chi tiết
Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh \(a\).
a) Tính \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AH} \):
- \(|\overrightarrow {BC} | = a\)
- \(|\overrightarrow {AH} | = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
- Góc giữa \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AH} \) là \({45^^\circ }\) vì \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AH} } \right)} = 45^\circ \)
Do đó:
\(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AH} = |\overrightarrow {BC} | \cdot |\overrightarrow {AH} | \cdot \cos {45^\circ } = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }} = {a^2}\)
b) Tính \(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EG} \):
- \(|\overrightarrow {AF} | = a\sqrt 2 \)
- \(|\overrightarrow {EG} | = a\sqrt 2 \)
- Góc giữa \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \) là \({60^\circ }\) vì \(\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AC} \) mà tam giác ACF đều.
Do đó:
\(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EG} = |\overrightarrow {AF} | \cdot |\overrightarrow {EG} | \cdot \cos {60^\circ } = a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\)
c) Tính \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} \):
- \(|\overrightarrow {AC} | = a\sqrt 2 \)
- \(|\overrightarrow {FE} | = a\)
- Góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {FE} \) là \({135^\circ }\) vì góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và vectơ đối của \(\overrightarrow {FE} \) là \(\overrightarrow {EF} \) là \(45^\circ \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {EF} } \right)} + \widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {FE} } \right)} = 180^\circ \)
Do đó:
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} = |\overrightarrow {AC} | \cdot |\overrightarrow {FE} | \cdot \cos {135^\circ } = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos {135^\circ }\)
Vì \(\cos {135^\circ } = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), ta có:
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = - {a^2}\)
Bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số bậc ba. Cụ thể, bài toán thường yêu cầu tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x3 - 3x2 + 2
y' = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Xét các khoảng:
y'' = 6x - 6
6x - 6 = 0 ⇔ x = 1
Xét các khoảng:
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↗ | max | ↘ | min | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số có điểm cực đại tại (0, 2) và điểm cực tiểu tại (2, -2). Điểm uốn của đồ thị là (1, 0).
Bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
