CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

I. TỔ HỢP

1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Quy tắc cộng và quy tắc nhân là hai công cụ cơ bản để đếm số lượng các kết quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm. Quy tắc cộng được sử dụng khi có nhiều phương án lựa chọn độc lập, trong khi quy tắc nhân được sử dụng khi các phương án lựa chọn phụ thuộc lẫn nhau.

Ví dụ: Nếu bạn có 3 áo và 2 quần, bạn có thể tạo ra 3 x 2 = 6 bộ trang phục khác nhau.

2. Hoán vị

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số lượng hoán vị của n phần tử là n! (n giai thừa).

Ví dụ: Số lượng hoán vị của 3 phần tử A, B, C là 3! = 3 x 2 x 1 = 6 (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).

3. Chỉnh hợp

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp n phần tử. Số lượng chỉnh hợp của n phần tử lấy k là A(n, k) = n! / (n-k)!.

Ví dụ: Số lượng chỉnh hợp của 5 phần tử lấy 3 là A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60.

4. Tổ hợp

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số lượng tổ hợp của n phần tử lấy k là C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!).

Ví dụ: Số lượng tổ hợp của 4 phần tử A, B, C, D lấy 2 là C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = 6 (AB, AC, AD, BC, BD, CD).

II. XÁC SUẤT

1. Định nghĩa xác suất

Xác suất của một sự kiện A là tỷ lệ giữa số lượng các kết quả thuận lợi cho A và tổng số lượng các kết quả có thể xảy ra.

P(A) = Số lượng kết quả thuận lợi cho A / Tổng số lượng kết quả có thể xảy ra

2. Các phép toán trên xác suất

Có một số phép toán cơ bản trên xác suất, bao gồm:

Phép cộng xác suất: P(A hoặc B) = P(A) + P(B) - P(A và B)
Phép nhân xác suất: P(A và B) = P(A) * P(B) (nếu A và B độc lập)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A và B) / P(B)

3. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên là một biến có giá trị là một kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên. Phân phối xác suất mô tả khả năng xảy ra của mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên.

Bài tập minh họa

Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.

Giải:

Tổng số cách lấy 2 quả bóng từ 8 quả bóng là C(8, 2) = 28.

Số cách lấy 2 quả bóng đỏ từ 5 quả bóng đỏ là C(5, 2) = 10.

Xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ là P = 10/28 = 5/14.

Kết luận

CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT là một chương học quan trọng trong chương trình Toán 11 Nâng cao. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế và chuẩn bị cho các môn học cao hơn. Hy vọng với những kiến thức được cung cấp tại giaitoan.edu.vn, bạn sẽ tự tin chinh phục chương học này.