Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 2.19 này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:
Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:
\({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (n + 1){.2^n} = n{.2^{n + 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh (*) \({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (n + 1){.2^n} = n{.2^{n + 1}}\) bằng PP quy nạp.
Với \(n = 1\) ta có \({2.2^1} = {1.2^{1 + 1}}\)
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} = k{.2^{k + 1}}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} + (k + 2){.2^{k + 1}} = (k + 1){.2^{k + 2}}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} + (k + 2){.2^{k + 1}}\\ = k{.2^{k + 1}} + (k + 2){.2^{k + 1}} = (2k + 2){.2^{k + 1}}\\ = 2(k + 1){.2^{k + 1}} = (k + 1){.2^{k + 2}}\end{array}\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài toán thuộc chương vectơ trong hình học. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực) và các ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh các đẳng thức hình học.
Bài 2.19 thường yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến các điểm trong một hình học cụ thể. Ví dụ, bài toán có thể yêu cầu chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, hoặc chứng minh rằng hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Để giải bài toán này, học sinh có thể sử dụng các phương pháp sau:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của bài toán, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và các hình vẽ minh họa nếu cần thiết. Ví dụ, nếu bài toán yêu cầu chứng minh A, B, C thẳng hàng, lời giải sẽ trình bày cách sử dụng vectơ AB và AC để chứng minh chúng cùng phương.)
Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành. Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng vectơ AB = vectơ DC hoặc vectơ AD = vectơ BC.
Bước 1: Tính các vectơ AB, DC, AD, BC theo tọa độ của các điểm A, B, C, D.
Bước 2: So sánh các vectơ vừa tính được. Nếu AB = DC hoặc AD = BC, thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán hình học. Nó giúp chúng ta:
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về vectơ, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể tại giaitoan.edu.vn, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết bài toán này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
| Khái niệm | Định nghĩa |
|---|---|
| Vectơ | Một đoạn thẳng có hướng. |
| Vectơ cùng phương | Hai vectơ có cùng hướng hoặc ngược hướng. |
| Vectơ bằng nhau | Hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng. |
