Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 26, 27 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp các bài giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một tài liệu quan trọng, bổ trợ cho chương trình học trên lớp. Việc giải các bài tập trong chuyên đề này sẽ giúp các em củng cố lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
\(1 = {1^2}\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\)
……
Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).\)
Lời giải chi tiết:
Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1. Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.
=> Tổng \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\) là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}.\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Xét đa thức \(p(n) = {n^2} - n + 41.\)
a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
a) \(p(1) = {1^2} - 1 + 41 = 41\) là một số nguyên tố
\(p(2) = {2^2} - 2 + 41 = 43\) là một số nguyên tố
\(p(3) = {3^2} - 3 + 41 = 47\) là một số nguyên tố
\(p(4) = {4^2} - 4 + 41 = 53\) là một số nguyên tố
\(p(5) = {5^2} - 5 + 41 = 61\) là một số nguyên tố
b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với \(n \in \mathbb{N}*\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức
\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} - {a^k}b + {a^k}b - {b^{k + 1}} = {a^k}(a - b) + b({a^k} - {b^k})\\ = {a^k}(a - b) + b(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\\ = (a - b)[{a^k} + b({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + {a^{k - 2}}{b^2} + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
\(1 = {1^2}\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\)
……
Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).\)
Lời giải chi tiết:
Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1. Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.
=> Tổng \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\) là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}.\)
Xét đa thức \(p(n) = {n^2} - n + 41.\)
a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
a) \(p(1) = {1^2} - 1 + 41 = 41\) là một số nguyên tố
\(p(2) = {2^2} - 2 + 41 = 43\) là một số nguyên tố
\(p(3) = {3^2} - 3 + 41 = 47\) là một số nguyên tố
\(p(4) = {4^2} - 4 + 41 = 53\) là một số nguyên tố
\(p(5) = {5^2} - 5 + 41 = 61\) là một số nguyên tố
b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với \(n \in \mathbb{N}*\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức
\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} - {a^k}b + {a^k}b - {b^{k + 1}} = {a^k}(a - b) + b({a^k} - {b^k})\\ = {a^k}(a - b) + b(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\\ = (a - b)[{a^k} + b({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + {a^{k - 2}}{b^2} + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức thường tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về một chủ đề cụ thể. Trang 26 và 27 thường chứa các bài tập vận dụng, bài tập nâng cao, và bài tập trắc nghiệm để đánh giá mức độ hiểu bài của học sinh. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và áp dụng đúng các phương pháp giải là chìa khóa để hoàn thành tốt các bài tập này.
Để hiểu rõ hơn về Mục 1, chúng ta cần xác định nội dung chính mà chuyên đề muốn truyền tải. Thông thường, đây có thể là:
Có nhiều phương pháp giải toán khác nhau, tùy thuộc vào từng dạng bài cụ thể. Tuy nhiên, một số phương pháp thường được sử dụng trong Mục 1 bao gồm:
Dưới đây là giải chi tiết một số bài tập tiêu biểu trong Mục 1 trang 26, 27 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức:
Đề bài: Cho hàm số y = f(x) = 2x + 1. Tính f(2), f(-1), f(0).
Lời giải:
Đề bài: Giải phương trình 3x + 2 = 5.
Lời giải:
3x = 5 - 2
3x = 3
x = 1
Để đạt được kết quả tốt nhất khi giải bài tập trong Mục 1, các em cần lưu ý những điều sau:
Ngoài sách giáo khoa và chuyên đề học tập, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Giải mục 1 trang 26, 27 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức đòi hỏi sự hiểu biết vững chắc về kiến thức nền tảng và khả năng áp dụng linh hoạt các phương pháp giải toán. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và các bài tập ví dụ trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt được kết quả tốt nhất.
