Chương VIII. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc

Chương VIII của sách bài tập Toán 11 Cánh Diều Tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian, đặc biệt là phép chiếu vuông góc. Đây là một phần kiến thức then chốt trong hình học không gian, giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho các chương trình học nâng cao.

I. Khái niệm cơ bản về quan hệ vuông góc trong không gian

Quan hệ vuông góc trong không gian là một khái niệm mở rộng từ quan hệ vuông góc trong mặt phẳng. Để hiểu rõ, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa sau:

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 độ.
• Đường thẳng vuông góc với đường thẳng: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai đường thẳng bằng 90 độ.

II. Phép chiếu vuông góc

Phép chiếu vuông góc là một phép biến hình quan trọng trong hình học không gian. Nó giúp chúng ta xác định hình chiếu của một điểm, một đường thẳng hoặc một mặt phẳng lên một mặt phẳng khác.

• Hình chiếu của một điểm: Hình chiếu của một điểm M lên một mặt phẳng (P) là điểm M' sao cho MM vuông góc với (P).
• Hình chiếu của một đường thẳng: Hình chiếu của một đường thẳng d lên một mặt phẳng (P) là tập hợp các hình chiếu của mọi điểm trên d.
• Hình chiếu của một mặt phẳng: Hình chiếu của một mặt phẳng (Q) lên một mặt phẳng (P) là giao điểm của (Q) và (P).

III. Các định lý quan trọng

Chương VIII giới thiệu một số định lý quan trọng, giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian:

1. Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
2. Định lý 2: Nếu một đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).
3. Định lý 3: Hai mặt phẳng vuông góc nếu và chỉ nếu có một đường thẳng d vuông góc với cả hai mặt phẳng đó.

IV. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AC. Do đó, tam giác SAC vuông tại A. Ta có AC = a√2. Suy ra tan(góc SCA) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2. Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng arctan(1/√2).

V. Ứng dụng của kiến thức

Kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian và phép chiếu vuông góc có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, như:

• Kiến trúc và xây dựng: Xác định góc nghiêng của mái nhà, tính toán độ cao của các công trình.
• Địa lý: Đo đạc độ cao của núi, tính toán góc độ của các địa hình.
• Vật lý: Phân tích lực tác dụng lên vật thể, tính toán góc hợp lực.

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về Chương VIII, bạn nên:

• Giải đầy đủ các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Cánh Diều Tập 2.
• Tìm kiếm các bài tập tương tự trên internet để luyện tập thêm.
• Tham khảo các tài liệu tham khảo khác để hiểu sâu hơn về kiến thức.

Hy vọng với những kiến thức và bài giải chi tiết trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán liên quan đến Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian - SBT Toán 11 Cánh Diều.