Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 47 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB \bot BC\), \(SA = AB = 3a\), \(BC = 4a\). Tính khoảng cách:
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB \bot BC\), \(SA = AB = 3a\), \(BC = 4a\). Tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
c) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
d) Từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
e*) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra rằng \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\left( {SAB} \right)\), từ đó tính được khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Chỉ ra rằng \(AB\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\), từ đó tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
c) Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(SB\). Ta chứng minh \(H\) cũng là hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(AH\).
d) Gọi \(M\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên \(AC\). Ta chứng minh \(M\) cũng là hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(BM\).
e) Lấy điểm \(D \in \left( {ABC} \right)\) sao cho \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(N\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SD\). Ta chứng minh \(AN \bot \left( {SCD} \right)\). Do \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\). Mà \(SC \in \left( {SCD} \right)\) nên khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\) chính là khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta có \(SA \bot BC\). Mà \(AB \bot BC\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot BC\). Do đó, \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\left( {SAB} \right)\), tức là khoảng cách từ \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là đoạn thẳng \(BC\). Do \(BC = 4a\), nên khoảng cách từ \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là \(4a\).
b) Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta có \(SA \bot AB\). Mà \(AB \bot BC\) nên \(AB\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\). Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) là đoạn thẳng \(AB\). Do \(AB = 3a\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) là \(3a\).
c) Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(SB\). Theo câu a, ta có \(\left( {SAB} \right) \bot BC\) nên \(AH \bot BC\). Vì \(AH \bot BC\), \(AH \bot SB\), ta có \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Vậy \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), điều này có nghĩa khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là đoạn thẳng \(AH\).
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\), \(SA = AB = 3a\) nên ta suy ra \(AH = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).
d) Gọi \(M\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên \(AC\). Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta suy ra \(SA \bot BM\). Vì \(SA \bot BM\), \(AC \bot BM\) nên \(\left( {SAC} \right) \bot BM\). Vậy \(M\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), điều này có nghĩa khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là đoạn thẳng \(BM\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), đường cao \(BM\), nên ta có \(\frac{1}{{B{M^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\).
Suy ra \(BM = \frac{{BA.BC}}{{\sqrt {B{A^2} + B{C^2}} }} = \frac{{3a.4a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }} = \frac{{12a}}{5}\).
e) Lấy điểm \(D \in \left( {ABC} \right)\) sao cho \(ABCD\) là hình bình hành. Do \(\widehat {ABC} = {90^o}\) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật. Suy ra \(CD \bot AD\). Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta có \(SA \bot CD\). Do đó \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
Gọi \(N\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(SD\). Do \(CD \bot \left( {SAD} \right)\) nên \(CD \bot AN\).
Như vậy ta có \(CD \bot AN\), \(AN \bot SD\) nên \(AN \bot \left( {SCD} \right)\). Do \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\). Mà \(SC \in \left( {SCD} \right)\) nên khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\) chính là khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\), và nó cũng chính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\), và bằng \(AN\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\), ta có
\(AN = \frac{{SA.AD}}{{SD}} = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3a.4a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }} = \frac{{12a}}{5}\)
Bài 47 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các tính chất hình học khác.
Bài 47 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 47 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là ví dụ minh họa cách giải một dạng bài tập thường gặp trong bài 47:
Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Giải:
Vậy góc giữa hai vectơ a và b là 90°.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều hoặc trên các trang web học toán online khác.
Bài 47 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
