Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn tự tin hơn trong việc chinh phục môn Toán.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính:
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính:
a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
b) Số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
c) Tang của góc giữa đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(C'D\) và \(BC\).
e*) Góc giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta sẽ chỉ ra \(AA'\) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
b) Ta chứng minh \(\widehat {ADA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
c) Ta chứng minh \(\widehat {DBD'}\) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Do đó, ta cần tính \(\tan \widehat {DBD'}\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DC'\) và \(D'C\). Chứng minh rằng \(IC\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(BC\) và \(DC'\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(IC\).
e*) Chỉ ra rằng do \(AD'\parallel BC'\) nên góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) băng góc giữa \(AD'\) và \(CD'\), và bằng góc \(\widehat {AD'C}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\). Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) cũng bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), và bằng \(AA'\).
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\), nên ta có \(AA' = a\).
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \(a\).
b) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(AD \bot CD\), \(CD \bot \left( {DAA'D'} \right)\) và \(ADD'A'\) là hình vuông.
Ta nhận xét rằng \(A'D\parallel B'C\), và \(CD \bot A'D\) (do \(CD \bot \left( {DAA'D'} \right)\)), cùng với \(AD \bot CD\), ta suy ra \(\widehat {ADA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
Vì \(ADD'A'\) là hình vuông nên \(\widehat {ADA'} = {45^o}\).
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\) bằng \({45^o}\).
c) Do \(D\) là hình chiếu của \(D'\) trên \(\left( {ABCD} \right)\), nên \(\widehat {DBD'}\) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên ta có \(BD = a\sqrt 2 \).
Ta có \(\tan \widehat {DBD'} = \frac{{DD'}}{{BD}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (tam giác \(DBD'\) vuông tại \(D\))
Vậy tang của góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DC'\) và \(D'C\). Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên \(DCC'D'\) là hình vuông, suy ra \(IC \bot DC'\).
Mặt khác, cũng do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), điều này dẫn tới \(IC \bot BC\).
Như vậy, ta có \(IC\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(BC\) và \(DC'\), tức khoảng cách giữa \(BC\) và \(DC'\) là đoạn thẳng \(IC\).
Do \(DCC'D'\) là hình vuông cạnh \(a\), nên \(D'C = a\sqrt 2 \Rightarrow IC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách giữa \(BC\) và \(DC'\) là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
e*) Do \(AD'\parallel BC'\) nên góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) băng góc giữa \(AD'\) và \(CD'\), tức là góc \(\widehat {AD'C}\).
Tam giác \(AD'C\) có \(AD' = D'C = AC\) (do đều là mỗi đường chéo của các mặt trong hình lập phương) nên tam giác \(AD'C\) đều. Suy ra \(\widehat {AD'C} = {60^o}\).
Vậy góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) bằng \({60^o}\).
Bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các tính chất hình học khác.
Bài 55 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, bạn cần thực hiện các bước sau:
Bài toán: Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Lời giải:
Tích vô hướng của a và b là: a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0.
Độ dài của vectơ a là: |a| = √(1² + 2² + 3²) = √14.
Độ dài của vectơ b là: |b| = √((-2)² + 1² + 0²) = √5.
cos(α) = (a.b) / (|a||b|) = 0 / (√14 * √5) = 0.
Vậy, α = 90°.
Để giải nhanh các bài tập về tích vô hướng, bạn nên nhớ các công thức và tính chất sau:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
