Chuyên đề 1: Phép biến hình trong mặt phẳng

Chuyên đề 1 của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức giới thiệu về các phép biến hình trong mặt phẳng, bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Đây là những công cụ cơ bản để nghiên cứu về hình học và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác.

1. Phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nó được xác định bởi một vectơ tịnh tiến v. Nếu M(x₀, y₀) là một điểm bất kỳ, thì ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (a, b) là điểm M'(x₀ + a, y₀ + b).

2. Phép quay

Phép quay là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho khoảng cách từ M đến tâm quay O bằng khoảng cách từ M' đến tâm quay O, và góc giữa hai đoạn thẳng OM và OM' bằng một góc α cho trước (góc quay). Công thức biến hình cho phép quay quanh điểm O(0, 0) với góc α là:

x' = x cos α - y sin α
y' = x sin α + y cos α

3. Phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho đường thẳng d (trục đối xứng) là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.

Nếu đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0 và M(x₀, y₀) là một điểm bất kỳ, thì tọa độ điểm M'(x', y') là nghiệm của hệ phương trình:

(x' - x₀)(a) + (y' - y₀)(b) = 0
ax' + by' + c = 0

4. Phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho I (tâm đối xứng) là trung điểm của đoạn thẳng MM'. Nếu I(x_I, y_I) và M(x₀, y₀), thì M'(x', y') có tọa độ:

x' = 2x_I - x₀
y' = 2y_I - y₀

5. Tính chất của các phép biến hình

Các phép biến hình đều bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Điều này có nghĩa là nếu hai điểm A và B có khoảng cách AB, thì ảnh của chúng A' và B' qua một phép biến hình bất kỳ cũng có khoảng cách A'B' bằng AB.