Bài 1.8 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức lý thuyết và áp dụng linh hoạt vào giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 1.8 trang 15, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d.
Đề bài
Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d. Gọi M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d. Hỏi A, B, M, N có là 4 đỉnh của một hình thang cân hay không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình thang cân là hình thang có 2 cạnh bên hoặc 2 góc ở đáy bằng nhau.
Hình thang là tứ giác có một cặp cạnh song song.
Lời giải chi tiết
Vì M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d nên phép đối xứng trục d biến điểm A thành điểm M và biến điểm B thành điểm N. Do đó, d là đường trung trực của đoạn thẳng AM và đoạn thẳng BN. Suy ra AM // BN (vì cùng vuông góc với d).
Suy ra tứ giác AMNB là hình thang (1).
Gọi F là trung điểm của BN, khi đó F thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng BN nên phép đối xứng trục d biến điểm F thành chính nó.
Từ đó suy ra phép đối xứng trục d biến góc ABF thành góc MNF nên \(\widehat {ABF} = \widehat {MNF}\) hay \(\widehat {ABN} = \widehat {MNB}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMNB là hình thang cân.
Vậy A, B, M, N là 4 đỉnh của một hình thang cân.
Bài 1.8 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh tìm số hạng tổng quát của dãy số và chứng minh một số tính chất liên quan. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và các công thức tính số hạng tổng quát.
Đề bài yêu cầu tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) được xác định bởi:
Sau khi tìm được số hạng tổng quát, chúng ta cần chứng minh rằng un > 2n+1 với mọi n ≥ 1.
Để tìm số hạng tổng quát của dãy số, chúng ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học hoặc phương pháp biến đổi để đưa dãy số về dạng quen thuộc. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi.
Ta có:
Nhận thấy rằng các số hạng của dãy số có dạng un = a * 2n + b. Ta sẽ tìm a và b sao cho thỏa mãn điều kiện của dãy số.
Thay u1 = 5 vào công thức, ta có: 5 = a * 21 + b => 2a + b = 5
Thay u2 = 13 vào công thức, ta có: 13 = a * 22 + b => 4a + b = 13
Giải hệ phương trình:
Trừ phương trình (1) cho phương trình (2), ta được: 2a = 8 => a = 4
Thay a = 4 vào phương trình (1), ta được: 2(4) + b = 5 => b = -3
Vậy, số hạng tổng quát của dãy số là un = 4 * 2n - 3 = 2n+2 - 3.
Ta cần chứng minh rằng 2n+2 - 3 > 2n+1 với mọi n ≥ 1.
Biến đổi bất đẳng thức, ta có:
2n+2 - 3 > 2n+1
2n+1 * 2 - 3 > 2n+1
2n+1 > 3
Bất đẳng thức này đúng với mọi n ≥ 1, vì 2n+1 luôn lớn hơn 3 khi n ≥ 1.
Vậy, un > 2n+1 với mọi n ≥ 1.
Số hạng tổng quát của dãy số (un) là un = 2n+2 - 3. Đồng thời, chúng ta đã chứng minh được rằng un > 2n+1 với mọi n ≥ 1.
Để hiểu sâu hơn về dãy số và cấp số, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 1.8 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
