Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương 1 của sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, một phần kiến thức nền tảng và quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng trong chương này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số một cách hiệu quả, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng.

1. Các khái niệm cơ bản về đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số tại một điểm là tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Nó được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của biến số khi độ biến thiên của biến số tiến tới 0. Đạo hàm có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định tính đơn điệu, cực trị và điểm uốn của hàm số.

2. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta sử dụng dấu của đạo hàm. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm âm trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Việc xác định khoảng đơn điệu giúp ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số.

3. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trong một khoảng nào đó. Để tìm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0 và xét dấu của đạo hàm để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu). Cực trị đóng vai trò quan trọng trong việc vẽ đồ thị hàm số và giải các bài toán tối ưu.

4. Ứng dụng đạo hàm để tìm điểm uốn của hàm số

Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình đạo hàm cấp hai bằng 0 và xét dấu của đạo hàm cấp hai để xác định loại điểm uốn. Điểm uốn giúp ta vẽ đồ thị hàm số chính xác hơn.

5. Khảo sát hàm số bậc ba

Hàm số bậc ba là một trong những loại hàm số thường gặp trong chương trình Toán 12. Để khảo sát hàm số bậc ba, ta thực hiện các bước sau:

• Xác định tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm cấp nhất và đạo hàm cấp hai.
• Tìm cực trị của hàm số.
• Tìm điểm uốn của hàm số.
• Lập bảng biến thiên của hàm số.
• Vẽ đồ thị hàm số.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2

1. Tập xác định: D = R
2. Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
3. Giải phương trình y' = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
4. Xét dấu y':
   • x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
   • 0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
   • x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)
5. Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_max = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_min = -2.
6. Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
7. Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1
8. Xét dấu y'':
   • x < 1: y'' < 0 (hàm số lõm)
   • x > 1: y'' > 0 (hàm số lồi)
9. Điểm uốn: (1, 0)

Ví dụ 2: (Tương tự, giải một bài tập khác)

7. Lời khuyên khi học chương 1

Để học tốt chương 1, các em cần:

• Nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm.
• Luyện tập nhiều bài tập để làm quen với các kỹ năng khảo sát hàm số.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
• Tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ học tốt chương 1 môn Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc các em thành công!