Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 2 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp học sinh hiểu sâu kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các lời giải bài tập Toán 12, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh trên toàn quốc.
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 3}}) b) (y = frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}) c) (y = frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}})
Đề bài
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 3}}\)
b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\)
c) \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: \(\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} - \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} - \infty \)
- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\)
Lời giải chi tiết
a) Xét \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2} \right\}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} = + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} = - \infty \).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)
Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng, \(y = \frac{1}{2}x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
b) Xét \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} = - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 7x - 6}}{{x + 2}} = \frac{{ - 7 - \frac{6}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = - 7\)
Vậy đường thẳng x = -2 và y = \(2x - 7\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
c) Xét \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{5}{2}} \right\}\)
Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = - \infty \).
\(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}}\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là \(x = - \frac{5}{2}\), tiệm cận xiên là \(y = x + 2.\)
Bài tập 2 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Đây là một phần kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp học sinh làm quen với các khái niệm cơ bản của giải tích. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn để tính toán và chứng minh các biểu thức toán học.
Bài tập 2 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để giải câu a, ta cần áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số. Ta xét giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Sử dụng các phép biến đổi đại số, ta có thể rút gọn biểu thức và tìm ra giới hạn của hàm số.
Ví dụ:
lim (x->2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x->2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x->2) (x + 2) = 4
Đối với câu b, ta có thể sử dụng các định lý về giới hạn, chẳng hạn như định lý về giới hạn của tích, thương, tổng và hiệu của các hàm số. Ta cần xác định các hàm số thành phần và tính giới hạn của từng hàm số thành phần trước khi áp dụng định lý.
Ví dụ:
lim (x->0) (x^2 + 1) / (x + 1) = (lim (x->0) (x^2 + 1)) / (lim (x->0) (x + 1)) = (0^2 + 1) / (0 + 1) = 1
Câu c có thể yêu cầu học sinh chứng minh sự tồn tại của giới hạn bằng cách sử dụng định nghĩa epsilon-delta. Ta cần tìm một giá trị delta sao cho khi 0 < |x - a| < delta thì |f(x) - L| < epsilon, trong đó L là giới hạn của hàm số f(x) tại điểm a.
Ngoài bài tập 2, SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo còn nhiều bài tập khác về giới hạn. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh:
Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về giới hạn, các định lý về giới hạn và phương pháp chứng minh sự tồn tại của giới hạn.
Để học tập và ôn luyện kiến thức về giới hạn, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài tập 2 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự.
