Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giúp học sinh hiểu sâu sắc về các khái niệm và ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho các bài toán tối ưu và ứng dụng thực tế.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này một cách hiệu quả nhất.

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 1. Tính đơn điệu của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Định lý 1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý:

a) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f’(x) 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f’(x) 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số không đổi trên K.

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và \({x_0} \in K,{x_1} \in K\)

\({x_0}\) được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (a;b) \( \subset \) K và \(f(x) < f({x_0})\) với mọi \(x \in (a;b)\) và \(x \ne {x_0}\). Khi đó, \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là \({f_{CĐ}}\)
\({x_1}\) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (c;d) \( \subset \) K và \(f(x) > f({x_1})\) với mọi \(x \in (c;d)\) và \(x \ne {x_1}\). Khi đó, \(f({x_1})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là \({f_{CT}}\)
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

Định lý

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

a) Nếu f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)

b) Nếu f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo 1

Tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán! Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo đặc sắc thuộc chuyên mục toán lớp 12 trên nền tảng toán học. Với bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả, sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào đại học mơ ước nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, việc nắm vững lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ là kiến thức nền tảng cho các bài toán liên quan đến đạo hàm mà còn là công cụ để giải quyết các bài toán thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng lên khi biến số tăng lên. Ngược lại, một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm xuống khi biến số tăng lên.

Hàm số đồng biến: ∀x₁, x₂ ∈ (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).
Hàm số nghịch biến: ∀x₁, x₂ ∈ (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thường sử dụng đạo hàm của hàm số. Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).

3. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một lân cận nào đó. Điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong một lân cận nào đó.

Điểm cực đại: x₀ là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≥ f(x) với mọi x ∈ (a, b).
Điểm cực tiểu: x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x ∈ (a, b).

4. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Để hàm số f(x) có cực trị tại x₀, cần và đủ điều kiện:

f'(x₀) = 0
f'(x) đổi dấu khi x đi qua x₀.

5. Quy tắc xét dấu đạo hàm và ứng dụng

Để xét dấu đạo hàm, ta thường lập bảng biến thiên. Bảng biến thiên giúp ta xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số.

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Lập bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞
f'(x) + - +
f(x) Đồng biến Nghịch biến Đồng biến
Kết luận: Hàm số đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên (0, 2). Hàm số có cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

x	-∞	0	2	+∞
f'(x)	+	-	+
f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

6. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị

Lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Giải các bài toán tối ưu hóa.
Nghiên cứu sự biến thiên của các hàm số trong các bài toán vật lý, kinh tế, kỹ thuật,...

Hy vọng với những kiến thức trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!