Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết đường tiệm cận trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Đây là một phần kiến thức quan trọng giúp bạn hiểu sâu hơn về đồ thị hàm số và ứng dụng trong giải toán.
Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ các khái niệm, định lý, và phương pháp tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.
Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1. Đường tiệm cận đứng
1. Đường tiệm cận đứng
| Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \). |
Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3 - x}}{{x + 2}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 2}} = + \infty \)
Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2.
2. Đường tiệm cận ngang
| Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}\). |
Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\)
Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\). |
Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số \(y = f(x) = x + \frac{1}{{x + 2}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\)
Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x.
Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp ta phác thảo chính xác hơn hình dạng của đồ thị và dự đoán hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng.
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.
Để tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ 1: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = 2x + 1 / x - 3.
Ví dụ 2: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = x2 + 1 / x.
Đường tiệm cận có nhiều ứng dụng trong việc phân tích và vẽ đồ thị hàm số:
Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về đường tiệm cận:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
