Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài tập 11 trang 38 thuộc chương trình học quan trọng, đòi hỏi sự nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp tối ưu, giúp bạn hiểu sâu sắc nội dung bài học và tự tin hơn trong quá trình ôn tập và làm bài kiểm tra.
Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4). a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4\).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm), ...
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
b) Quan sát đồ thị và tìm khoảng cách giữa 2 cực trị. Dùng định lí Pytago để tìm khoảng cách đó
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); 0), (2; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; 2) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và \({y_{cd}} = 4\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và \({y_{ct}} = \frac{8}{3}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4) = + \infty \)
Khi x = 0 thì y = 4 nên (0; 4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,61\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1,61; 0)
b) Khoảng cách giữa 2 cực trị là \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{(4 - 8/3)}^2} + {2^2}} \)
= \(\frac{{2\sqrt {13} }}{3}\)
Bài tập 11 trang 38 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài toán thuộc chương trình học về đạo hàm. Cụ thể, bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng.
Bài tập 11 thường có dạng như sau: Cho một hàm số f(x) biểu diễn một đại lượng nào đó. Yêu cầu tính đạo hàm f'(x) và sử dụng đạo hàm này để giải thích ý nghĩa của tốc độ thay đổi của đại lượng đó tại một điểm cụ thể.
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = 2x2 + 3x - 1 biểu diễn quãng đường đi được của một vật thể sau x giây. Tính vận tốc của vật thể tại thời điểm x = 2 giây.
Giải:
Để giải quyết hiệu quả bài tập 11 trang 38, bạn cần:
Ngoài SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Bài tập 11 trang 38 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài toán quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đạo hàm và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Hy vọng với những hướng dẫn và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
