Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Đây là một chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.

Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc trên một tập hợp cho trước. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các phương pháp giải bài toán, các ví dụ minh họa và các bài tập thực hành để bạn có thể nắm vững kiến thức này.

1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \le \) M với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = M.

Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc M = \(\mathop {\max }\limits_D f(x)\)

Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = m.

Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc m = \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\)

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)\), tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại
Tính \(f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)\) và \(f(b)\)
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M = \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\); m = \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\)

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 2 \) (vì \(x \in \left[ {0;4} \right]\))

y(0) = 3; y(4) = 195; y(\(\sqrt 2 \)) = -1

Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1\)

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo 1

Tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán! Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo đặc sắc thuộc chuyên mục toán lớp 12 trên nền tảng môn toán. Với bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả, sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào đại học mơ ước nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, việc nắm vững lý thuyết về giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho việc hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng của đạo hàm.

1. Khái niệm cơ bản

Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên một tập hợp A là giá trị M sao cho f(x) ≤ M với mọi x thuộc A và tồn tại x₀ thuộc A sao cho f(x₀) = M. Tương tự, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên tập hợp A là giá trị m sao cho f(x) ≥ m với mọi x thuộc A và tồn tại x₀ thuộc A sao cho f(x₀) = m.

2. Điều kiện để hàm số đạt GTLN, GTNN trên một khoảng

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên khoảng (a, b), ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các điểm mút của khoảng (a, b).
So sánh các giá trị này để tìm GTLN và GTNN.

3. Các phương pháp tìm GTLN, GTNN

Phương pháp sử dụng đạo hàm: Đây là phương pháp phổ biến nhất, dựa trên việc tìm điểm cực trị và so sánh giá trị hàm số tại các điểm đó.
Phương pháp đánh giá: Sử dụng các bất đẳng thức và tính chất của hàm số để đánh giá GTLN và GTNN. Ví dụ, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM.
Phương pháp hình học: Vẽ đồ thị hàm số và xác định GTLN, GTNN dựa trên đồ thị.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng [0, 5].

Giải:

f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0 ⇔ x = 2
f(0) = 3, f(2) = -1, f(5) = 8
Vậy, GTLN của f(x) trên [0, 5] là 8 tại x = 5, GTNN của f(x) trên [0, 5] là -1 tại x = 2.

Ví dụ 2: Tìm GTLN của hàm số f(x) = -x² + 6x - 5 trên khoảng (-∞, +∞).

Giải:

f'(x) = -2x + 6
f'(x) = 0 ⇔ x = 3
f(3) = 4
Vì hệ số của x² là âm, hàm số đạt GTLN tại x = 3 và GTLN là 4.

5. Lưu ý quan trọng

Khi tìm GTLN, GTNN trên một khoảng đóng [a, b], cần tính giá trị của hàm số tại các điểm mút a và b.
Khi hàm số không xác định tại một điểm trong khoảng, cần xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới điểm đó.
Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách vẽ đồ thị hàm số hoặc sử dụng các phương pháp đánh giá khác.

6. Bài tập thực hành

Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 3].
Tìm GTLN của hàm số f(x) = sinx + cosx trên khoảng [0, π].

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!