Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 1 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1, trang 14, 15 và 16 của sách giáo khoa Toán 12 tập 1, chương trình Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Định nghĩa
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.
a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?
i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(28^\circ C\).
ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(40^\circ C\).
iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(34^\circ C\).
b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị hình 1
Lời giải chi tiết:
a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là \(34^\circ C\)
b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (\(34^\circ C\)) là lúc 16 giờ
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(20^\circ C\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).
Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t \( \ge \) 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)
\(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\)
Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?
(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)
Phương pháp giải:
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
Xét \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \([0; + \infty )\)
\(y'(t) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{(9{t^2} + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = - \frac{1}{3}(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(\frac{1}{3}) = - \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(0) = 5\)
Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = \(\frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
b) \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
c) \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Phương pháp giải:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \le \) M với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_D \)f(x). Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_D \)f(x).
- Tìm đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên và xác định GTLN và GTNN
Lời giải chi tiết:
a) Xét \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
\(f'(x) = 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0;3]} f(x) = f(0) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = f(3) = 10\)
b) Xét \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
\(g'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0;5)} f(x) = f(1) = 2\) và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)
c) Xét \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)
\(h'(x) = \sqrt {2 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = ( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\)
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D f(x) = f( - 1) = - 1\) và \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(1) = 1\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.
a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?
i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(28^\circ C\).
ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(40^\circ C\).
iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(34^\circ C\).
b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị hình 1
Lời giải chi tiết:
a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là \(34^\circ C\)
b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (\(34^\circ C\)) là lúc 16 giờ
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(20^\circ C\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
b) \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
c) \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Phương pháp giải:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \le \) M với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_D \)f(x). Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_D \)f(x).
- Tìm đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên và xác định GTLN và GTNN
Lời giải chi tiết:
a) Xét \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
\(f'(x) = 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0;3]} f(x) = f(0) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = f(3) = 10\)
b) Xét \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
\(g'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0;5)} f(x) = f(1) = 2\) và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)
c) Xét \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)
\(h'(x) = \sqrt {2 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = ( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\)
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D f(x) = f( - 1) = - 1\) và \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(1) = 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).
Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t \( \ge \) 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)
\(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\)
Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?
(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)
Phương pháp giải:
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
Xét \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \([0; + \infty )\)
\(y'(t) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{(9{t^2} + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = - \frac{1}{3}(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(\frac{1}{3}) = - \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(0) = 5\)
Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = \(\frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về hàm số và đồ thị. Đây là nền tảng quan trọng cho các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, cực trị của hàm số, và vẽ đồ thị hàm số.
Để giải tốt các bài tập trong Mục 1, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hàm số và đồ thị. Dưới đây là một số phương pháp giải thường được sử dụng:
Bài 1.1 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: (Giải thích chi tiết từng bước giải, bao gồm cả việc phân tích đề bài, áp dụng công thức, và kiểm tra kết quả). Ví dụ: Để xác định tập xác định của hàm số f(x) = √(x-2), ta cần tìm các giá trị của x sao cho x-2 ≥ 0, tức là x ≥ 2. Vậy tập xác định của hàm số là [2, +∞).
Bài 1.2 trang 15 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: (Giải thích chi tiết từng bước giải). Ví dụ: Để xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x² - 4x + 3, ta tính đạo hàm f'(x) = 2x - 4. Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 2. Xét dấu f'(x) trên các khoảng (-∞, 2) và (2, +∞), ta thấy f'(x) < 0 trên (-∞, 2) và f'(x) > 0 trên (2, +∞). Vậy hàm số nghịch biến trên (-∞, 2) và đồng biến trên (2, +∞).
Bài 1.3 trang 16 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: (Giải thích chi tiết từng bước giải). Ví dụ: Để vẽ đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x, ta tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình f'(x) = 0. Sau đó, ta lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số dựa trên bảng biến thiên.
Trong quá trình giải bài tập, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập trong Mục 1 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
