CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Chương III của sách giáo khoa Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc mở rộng khái niệm vectơ từ mặt phẳng lên không gian ba chiều. Đây là một bước quan trọng trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức hình học nâng cao hơn.

I. Vectơ trong không gian

1. Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.

2. Các phép toán vectơ:

Phép cộng vectơ:AB + BC = AC (quy tắc tam giác hoặc quy tắc hình bình hành)
Phép trừ vectơ:AB - AC = CB
Phép nhân vectơ với một số thực: k.AB (k là số thực)

3. Vectơ đơn vị: Vectơ có độ dài bằng 1.

4. Vectơ cùng phương, cùng chiều, ngược chiều:

Cùng phương: Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Cùng chiều: Hai vectơ cùng phương và có cùng hướng.
Ngược chiều: Hai vectơ cùng phương và có hướng ngược nhau.

II. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

1. Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính theo công thức:

a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.

2. Tính chất:

a.b = b.a (tính giao hoán)
a.(b+c) = a.b + a.c (tính phân phối)
k(a.b) = (ka).b = a.(kb) (tính chất kết hợp với phép nhân số thực)

3. Ứng dụng:

Tính góc giữa hai vectơ.
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: a vuông góc với b khi và chỉ khi a.b = 0.
Tính độ dài của vectơ.

III. Quan hệ vuông góc trong không gian

1. Điều kiện vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0 (a.b = 0).

2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

3. Hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai pháp tuyến của chúng bằng 90 độ.

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hai vectơ a = (1; 2; -1) và b = (2; -1; 3). Tính tích vô hướng của a và b.

Giải:a.b = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(3) = 2 - 2 - 3 = -3

Bài 2: Cho điểm A(1; 2; 3) và B(2; -1; 1). Tìm tọa độ của vectơ AB.

Giải:AB = (2-1; -1-2; 1-3) = (1; -3; -2)

Chương III này là nền tảng quan trọng để bạn tiếp tục học tập các kiến thức hình học không gian nâng cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững các khái niệm và kỹ năng giải bài tập.