Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và các tính chất hình học để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Trong không gian cho tam giác ABC.
Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} \) với mọi điểm O.
Giải chi tiết:
Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ khi có \(\overrightarrow {AM} = l\overrightarrow {AB} + m\overrightarrow {AC} \)
hay \(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = l\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) + m\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)\) với mọi điểm O
tức là \(\overrightarrow {OM} = \left( {1 - l - m} \right)\overrightarrow {OA} + l\overrightarrow {OB} + m\overrightarrow {OC} \)
đặt \(1 - l - m = x,l = y,m = z\) thì \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1.\)
Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} ,\) trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).
Giải chi tiết:
Giả sử \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1,\) ta có :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {OM} = \left( {1 - y - z} \right)\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \cr & hay\,\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr & \text{ tức là }\overrightarrow {AM} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr} \)
Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC)
Bài toán Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc áp dụng các kiến thức về vectơ trong không gian, đặc biệt là các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất của vectơ, cũng như các công thức liên quan đến tích vô hướng.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết cần thiết:
Để giải quyết bài toán Câu 5 trang 91, bước đầu tiên là đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về các điểm trong không gian, các vectơ liên quan, và yêu cầu tính toán một đại lượng nào đó, ví dụ như độ dài vectơ, góc giữa hai vectơ, hoặc chứng minh một đẳng thức vectơ.
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của bài toán, bao gồm các bước giải, các phép tính, và giải thích rõ ràng. Ví dụ, nếu bài toán yêu cầu tính góc giữa hai vectơ, lời giải sẽ trình bày các bước tính toán tích vô hướng, sử dụng công thức tính cosin góc, và tính góc tương ứng.)
Ngoài bài toán Câu 5 trang 91, còn rất nhiều bài tập tương tự trong chương trình Hình học 11 Nâng cao. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:
Kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như vật lý, cơ học, đồ họa máy tính, và robot học. Ví dụ, trong vật lý, vectơ được sử dụng để biểu diễn các đại lượng vật lý có cả độ lớn và hướng, như vận tốc, gia tốc, lực. Trong đồ họa máy tính, vectơ được sử dụng để mô tả các đối tượng hình học và thực hiện các phép biến đổi hình học.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ. Bằng cách nắm vững lý thuyết, phân tích đề bài một cách cẩn thận, và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, bạn có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
