Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, quan hệ vuông góc để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {SA} = a\overrightarrow {SA'} ,\;\overrightarrow {SB} = b\overrightarrow {SB'} ,\;\overrightarrow {SC} = c\overrightarrow {SC} .\)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SG} = {1 \over 3}.\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) \cr & Vay\,\overrightarrow {SG} = {a \over 3}\overrightarrow {SA'} + {b \over 3}\overrightarrow {SB'} + {c \over 3}\overrightarrow {SC'} \cr} \)
Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \({a \over 3} + {b \over 3} + {c \over 3} = 1\) , tức là: a + b + c = 3.
Bài tập Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian, sử dụng các tính chất của vectơ. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững kiến thức về:
Trước khi bắt tay vào giải, hãy đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Vẽ hình minh họa (nếu cần thiết) để hình dung rõ hơn về không gian và các mối quan hệ giữa các đối tượng. Sau đó, xác định chiến lược giải phù hợp, ví dụ:
(Giả sử đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Chứng minh rằng SC vuông góc với AD.)
Lời giải:
Ta có: AD ⊥ SA (vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)).
AD ⊥ CD (vì ABCD là hình vuông).
Suy ra AD ⊥ (SCD) (vì AD vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SCD)).
Do đó, AD ⊥ SC (vì SC nằm trong mặt phẳng (SCD)).
Ngoài bài tập Câu 6 trang 91, SGK Hình học 11 Nâng cao còn có nhiều bài tập tương tự về quan hệ vuông góc trong không gian. Một số dạng bài tập thường gặp:
Để giải các bài tập này, học sinh cần:
Dưới đây là một số mẹo giúp bạn giải bài tập Hình học không gian nâng cao hiệu quả hơn:
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng, bạn có thể giải thêm các bài tập sau:
Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập điển hình về quan hệ vuông góc trong không gian. Việc nắm vững kiến thức về vectơ, quan hệ vuông góc và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Hình học.
