Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian - Tổng quan

Chương VII trong sách Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, đặt nền móng cho các kiến thức phức tạp hơn ở các lớp trên. Chương này bao gồm các nội dung chính sau:

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Định nghĩa, điều kiện, tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
• Hai mặt phẳng vuông góc: Định nghĩa, điều kiện, tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ứng dụng trong giải toán.
• Góc giữa hai mặt phẳng: Cách tính góc giữa hai mặt phẳng, ứng dụng trong giải toán.
• Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Công thức tính khoảng cách, ứng dụng trong giải toán.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P). Tính chất quan trọng là nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đó.

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°. Điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc là có một đường thẳng d vuông góc với cả hai mặt phẳng. Tính chất quan trọng là nếu hai mặt phẳng vuông góc thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P). Để tính góc này, ta thường sử dụng các công thức lượng giác và các tính chất của hình học không gian. Ví dụ, nếu d vuông góc với (P) thì góc giữa d và (P) bằng 90°.

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng, nằm trong mỗi mặt phẳng. Để tính góc này, ta thường sử dụng các công thức lượng giác và các tính chất của hình học không gian. Ví dụ, nếu (P) và (Q) vuông góc thì góc giữa chúng bằng 90°.

5. Ứng dụng trong giải toán

Các kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán về hình học không gian, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tính khoảng cách, góc, và xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học. Việc nắm vững các định nghĩa, điều kiện, và tính chất là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán này.

Ví dụ minh họa

Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

1. Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AC.
2. Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có tan(∠SCA) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
3. Vậy ∠SCA = arctan(1/√2).
4. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc SCA.

Lời khuyên khi học tập

Để học tốt chương này, các em nên:

• Nắm vững các định nghĩa, điều kiện, và tính chất của các khái niệm liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian.
• Luyện tập giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải toán.
• Sử dụng hình vẽ để minh họa và trực quan hóa các khái niệm và bài toán.
• Tham khảo các tài liệu tham khảo và các nguồn học liệu trực tuyến để mở rộng kiến thức.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ học tốt chương VII Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức. Chúc các em thành công!