Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3, trang 34, 35 và 36 của sách giáo khoa Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong các kỳ thi sắp tới.
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b.
Video hướng dẫn giải
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).
Phương pháp giải:
Cho a, b là 2 đường thẳng phân biệt, nếu đường thẳng b // b’ thì (a, b) = (a, b’)
Lời giải chi tiết:
\(\left. \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\m \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot m \Rightarrow \left( {a,m} \right) = {90^0}\)
a // b \( \Rightarrow \left( {a,m} \right) = \left( {b,m} \right) = {90^0}\) mà đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P)
\( \Rightarrow \) b \( \bot \) (P).
Video hướng dẫn giải
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P). Xét O là một điểm thuộc a nhưng không thuộc b. Gọi c là đường thẳng qua O và song song với b.
a) Hỏi c có vuông góc với (P) hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa a và c.
b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b.
Phương pháp giải:
- Sử dụng kết quả của hoạt động 5 trang 34.
- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
a) b // c; b \( \bot \) (P) \( \Rightarrow \) c \( \bot \) (P)
Mà a \( \bot \) (P)
a, c cùng đi qua điểm O
\( \Rightarrow \) a trùng c.
b) Ta có b // c mà a trùng c nên a // b.
Video hướng dẫn giải
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với (P). Gọi b là một đường thẳng bất kì thuộc (Q). Lấy một đường thẳng a thuộc (P) sao cho a song song với b (H.7.23). So sánh (\(\Delta \), b) và (\(\Delta \), a). Từ đó rút ra mối quan hệ giữa \(\Delta \) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
\(\left. \begin{array}{l}\Delta \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot a,a//b \Rightarrow \Delta \bot b \Rightarrow \left( {\Delta ,b} \right) = {90^0}\)
\(\Delta \bot a \Rightarrow \left( {\Delta ,a} \right) = {90^0}\)
\( \Rightarrow \) (\(\Delta \), b) = (\(\Delta \), a) mà b là đường thẳng bất kì thuộc (Q)
\( \Rightarrow \) \(\Delta \bot \left( Q \right)\)
Video hướng dẫn giải
Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \). Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q) (H.7.24).
a) Hỏi (R) có vuông góc với Δ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).
b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
Phương pháp giải:
- Sử dụng kết quả của hoạt động 7 trang 35
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
a) (R) // (Q); \(\Delta \) \( \bot \) (Q) \( \Rightarrow \) \(\Delta \) \( \bot \) (R)
Mà \(\Delta \) \( \bot \) (P) và (R), (Q) là 2 mặt phẳng cùng đi qua O
\( \Rightarrow \) (R) trùng (P)
b) (R) // (Q) mà (R) trùng (P) nên (P) // (Q)
Video hướng dẫn giải
Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Lời giải chi tiết:
Ta coi chân bàn như đường thẳng và mặt bàn, mặt sàn là 2 mặt phẳng.
Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn nên hai mặt phẳng đó có song song với nhau vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Video hướng dẫn giải
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P). Tính (\(\Delta \), a).
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Vì a // (P) nên a // b sao cho b \( \subset \) (P)
\( \Rightarrow \) (\(\Delta \); a) = (\(\Delta \); b)
Mà \(\Delta \) \( \bot \) (P); b \( \subset \) (P) nên \(\Delta \) \( \bot \) b \( \Rightarrow \) (\(\Delta \); b) = 900
Vậy (\(\Delta \); a) = 900
Video hướng dẫn giải
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng \(\Delta \).
a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a' song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a' và (P).
b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).
Phương pháp giải:
Sử dụng lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
a) \(\Delta \bot a,a//a' \Rightarrow \Delta \bot a'\)
\(\Delta \bot a',\Delta \bot \left( P \right)\) \( \Rightarrow \) a' // (P) hoặc a' \( \subset \) (P) mà điểm O thuộc (P) và đi qua a'
Vậy a' \( \subset \) (P).
b) a' // a; a' \( \subset \) (P) \( \Rightarrow \)a // (P) hoặc a \( \subset \) (P) vì a và (P) không phân biệt.
Video hướng dẫn giải
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA \( \bot \) (ABCD). Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng SC \( \bot \) (MBD) và AH // (MBD).
Phương pháp giải:
- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
- Trong 1 mặt phẳng có 2 đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì chúng song song.
- Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu nó song song với 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l} + )AC \bot BD\,\,\left( {hv\,\,ABCD} \right)\\SA \bot BD\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AC \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\\left. \begin{array}{l} + )BD \bot SC\left( {BD \bot \left( {SAC} \right)} \right)\\BM \bot SC\\BD \cap BM = \left\{ B \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow SC \bot \left( {MBD} \right)\end{array}\)
Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\)
\(\left. \begin{array}{l}SC \bot \left( {MBD} \right)\\OM \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SC \bot OM\)
Mà \(AH \bot SC\)
\( \Rightarrow AH//OM,OM \subset \left( {MBD} \right) \Rightarrow AH//\left( {MBD} \right)\)
Mục 3 trong SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về phép biến hình. Cụ thể, các em sẽ được làm quen với các khái niệm như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các phép biến hình này là nền tảng quan trọng để học tập các kiến thức hình học nâng cao hơn trong chương trình Toán 11 và các lớp trên.
Phép tịnh tiến là một phép biến hình quan trọng trong hình học. Nó di chuyển mỗi điểm trong mặt phẳng một khoảng không đổi theo một hướng xác định. Để hiểu rõ hơn về phép tịnh tiến, các em cần nắm vững các khái niệm sau:
Bài tập minh họa: Cho điểm A(2, -3) và vector tịnh tiến v = (1, 4). Tìm tọa độ ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến theo vector v.
Giải: Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh, ta có: A'(2 + 1, -3 + 4) = A'(3, 1).
Phép quay là một phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành một điểm khác sao cho khoảng cách từ điểm đó đến một điểm cố định (gọi là tâm quay) không đổi và góc giữa đoạn thẳng nối điểm ban đầu với tâm quay và đoạn thẳng nối điểm ảnh với tâm quay là một góc cố định (gọi là góc quay).
Bài tập minh họa: Cho điểm B(-1, 2) và tâm quay O(0, 0). Thực hiện phép quay điểm B một góc 90 độ theo chiều dương. Tìm tọa độ ảnh B' của điểm B.
Giải: Sử dụng công thức tính tọa độ ảnh của phép quay, ta có: B'(-2, -1).
Phép đối xứng trục là một phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành một điểm khác sao cho đoạn thẳng nối điểm ban đầu với điểm ảnh vuông góc với một đường thẳng cố định (gọi là trục đối xứng) và trung điểm của đoạn thẳng đó nằm trên trục đối xứng.
Phép đối xứng tâm là một phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành một điểm khác sao cho trung điểm của đoạn thẳng nối điểm ban đầu với điểm ảnh là một điểm cố định (gọi là tâm đối xứng).
Lưu ý: Khi giải các bài tập về phép biến hình, các em cần chú ý đến việc xác định đúng các yếu tố quan trọng như vector tịnh tiến, tâm quay, góc quay, trục đối xứng và tâm đối xứng. Việc vẽ hình minh họa cũng rất hữu ích để hình dung rõ hơn về phép biến hình và tìm ra lời giải chính xác.
Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 3 trang 34, 35, 36 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
