Bài 7.41 thuộc chương trình Toán 11 tập 2, Kết nối tri thức, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm, điểm cực trị và các tính chất của hàm số.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 7.41, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại \(S\) và \((SAD) \bot (ABCD)\).
a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}h.S\)
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Lời giải chi tiết
a) Trong (SAD) kẻ \(SE \bot AD\)
Mà \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD \Rightarrow SE \bot \left( {ABCD} \right)\)
Xét tam giác SAD vuông cân tại S có
\(SE \bot AD\)
\( \Rightarrow \) E là trung điểm của AD
\( \Rightarrow SE = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\)
Diện tích hình vuông ABCD là \({S_{ABCD}} = {a^2}\)
Thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}SE.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà \(AB \bot BC \Rightarrow EF \bot BC\)
mà \(SE \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SEF} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SEF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)
\(\left( {SEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\)
Trong (SEF) kẻ \(EG \bot SF\)
\( \Rightarrow EG \bot \left( {SBC} \right)\)
Ta có AD // BC nên AD // (SBC)
\( \Rightarrow d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right) = EG\)
Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a
Xét tam giác SEF vuông tại E có
\(\frac{1}{{E{G^2}}} = \frac{1}{{S{E^2}}} + \frac{1}{{E{F^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow EG = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
Vậy \(d\left( {AD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
Bài 7.41 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa một đại lượng nào đó bằng cách sử dụng đạo hàm. Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử bài toán yêu cầu tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích cho trước sao cho diện tích bề mặt nhỏ nhất. Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là x, y và z. Ta có:
Mục tiêu là tìm x, y, z sao cho S nhỏ nhất. Ta có thể biểu diễn z = V/(xy) và thay vào công thức tính diện tích bề mặt để được S = 2(xy + V/x + V/y). Sau đó, tính đạo hàm riêng của S theo x và y, giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm x và y, và cuối cùng tính z.
Khi giải các bài toán tối ưu hóa bằng đạo hàm, cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc của bài toán. Ngoài ra, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo rằng giá trị tìm được là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất thực sự của hàm số trong tập xác định.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm là rất quan trọng đối với học sinh lớp 11, đặc biệt là những em có định hướng theo đuổi các ngành khoa học kỹ thuật.
(Nội dung lời giải chi tiết sẽ được trình bày đầy đủ dựa trên đề bài cụ thể của Bài 7.41 trong SGK. Ví dụ: Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số f(x) = x^3 - 3x + 2 trên đoạn [-2; 2], lời giải sẽ bao gồm các bước tính đạo hàm f'(x) = 3x^2 - 3, giải phương trình f'(x) = 0 để tìm x = 1 và x = -1, xét dấu đạo hàm để xác định điểm cực đại và cực tiểu, tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của đoạn [-2; 2], và so sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.)
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh có thể tự tin giải Bài 7.41 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán.
